Страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

638. (Для работы в парах.) Ежегодный доход по вкладу «Юбилейный» составляет 6%. Первоначальный вклад был равен 8000 р.

Какая сумма будет на счету у вкладчика:

а) через 4 года; б) через 6 лет?

1) Обсудите, с какой последовательностью мы имеем дело в этой задаче.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните расчёты, используя калькулятор.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

В этой задаче мы имеем дело с геометрической прогрессией. Каждый год сумма на вкладе увеличивается на 6%, то есть умножается на коэффициент $1 + 0,06 = 1,06$. Последовательность сумм на счете по годам представляет собой геометрическую прогрессию. Для расчета итоговой суммы используется формула сложных процентов, которая является частным случаем формулы n-го члена геометрической прогрессии: $S = P \cdot (1 + r)^n$. В этой формуле $S$ — это итоговая сумма, $P$ — первоначальный вклад ($8000$ р.), $r$ — годовая процентная ставка в виде десятичной дроби ($6\% = 0,06$), а $n$ — количество лет.

а) через 4 года

Чтобы найти сумму на счету через 4 года, подставим в формулу $n=4$:

$S_4 = 8000 \cdot (1 + 0,06)^4 = 8000 \cdot (1,06)^4$

С помощью калькулятора находим значение $(1,06)^4 \approx 1,26247696$.

Теперь умножаем на первоначальный вклад:

$S_4 = 8000 \cdot 1,26247696 = 10099,81568$

Округлив результат до копеек, получаем $10099,82$ р.

Ответ: через 4 года на счету у вкладчика будет 10099,82 р.

б) через 6 лет

Чтобы найти сумму на счету через 6 лет, подставим в формулу $n=6$:

$S_6 = 8000 \cdot (1 + 0,06)^6 = 8000 \cdot (1,06)^6$

С помощью калькулятора находим значение $(1,06)^6 \approx 1,41851911$.

Теперь умножаем на первоначальный вклад:

$S_6 = 8000 \cdot 1,41851911 \approx 11348,15288$

Округлив результат до копеек, получаем $11348,15$ р.

Ответ: через 6 лет на счету у вкладчика будет 11348,15 р.

639. На опытном участке леса ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на этом участке через 6 лет, если первоначальное количество древесины равно $2,0 \cdot 10^4 \text{ м}^3$?

639.

Эта задача решается с помощью формулы сложных процентов, так как ежегодный прирост древесины рассчитывается от количества, имеющегося на начало каждого нового года. Формула для нахождения конечной величины выглядит следующим образом: $ V = V_0 \cdot (1 + r)^n $ где:
$ V $ — конечное количество древесины,
$ V_0 $ — первоначальное количество древесины,
$ r $ — годовой прирост в долях от единицы,
$ n $ — количество лет.

В соответствии с условием задачи имеем следующие данные:
Первоначальное количество древесины $ V_0 = 2.0 \cdot 10^4 $ м³.
Ежегодный прирост составляет 10%, что в долях равно $ r = \frac{10}{100} = 0.1 $.
Период времени $ n = 6 $ лет.

Подставим эти значения в формулу для вычисления количества древесины через 6 лет ($ V_6 $):
$ V_6 = 2.0 \cdot 10^4 \cdot (1 + 0.1)^6 $
$ V_6 = 2.0 \cdot 10^4 \cdot (1.1)^6 $

Сначала вычислим значение $ (1.1)^6 $:
$ (1.1)^2 = 1.21 $
$ (1.1)^4 = (1.21)^2 = 1.4641 $
$ (1.1)^6 = (1.1)^4 \cdot (1.1)^2 = 1.4641 \cdot 1.21 = 1.771561 $

Теперь можем найти конечное количество древесины:
$ V_6 = 2.0 \cdot 10^4 \cdot 1.771561 $
$ V_6 = 3.543122 \cdot 10^4 $ м³

Поскольку первоначальное значение ($ 2.0 \cdot 10^4 $ м³) было дано с двумя значащими цифрами, будет корректно округлить полученный результат до двух значащих цифр.
$ V_6 \approx 3.5 \cdot 10^4 $ м³

Ответ: $3.5 \cdot 10^4$ м³.

640. После каждого движения поршня разрежающего насоса из со-суда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда после шести движений порш-ня, если первоначально давление было равно 760 мм рт. ст.

Пусть $P_0$ — первоначальное давление воздуха в сосуде. Согласно условию, $P_0 = 760$ мм рт. ст.

После каждого движения поршня из сосуда удаляется 20% находящегося в нем воздуха. Это означает, что в сосуде остается $100\% - 20\% = 80\%$ воздуха от предыдущего количества.

По закону Бойля-Мариотта, при постоянной температуре давление газа прямо пропорционально его массе (или количеству вещества) в заданном объеме. Следовательно, после каждого хода поршня давление в сосуде будет уменьшаться и составлять 80% от значения перед этим ходом.

Таким образом, изменение давления представляет собой геометрическую прогрессию, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q = 0.8$.

Давление $P_n$ после $n$ движений поршня можно рассчитать по формуле:

$P_n = P_0 \cdot q^n$

В данной задаче необходимо найти давление после шести движений поршня, то есть при $n=6$. Подставим известные значения в формулу:

$P_6 = 760 \cdot (0.8)^6$

Вычислим значение $(0.8)^6$:

$(0.8)^2 = 0.64$

$(0.8)^4 = (0.64)^2 = 0.4096$

$(0.8)^6 = (0.8)^4 \cdot (0.8)^2 = 0.4096 \cdot 0.64 = 0.262144$

Теперь найдем конечное давление $P_6$:

$P_6 = 760 \cdot 0.262144 = 199.22944$ мм рт. ст.

Округляя результат до сотых, получаем:

$P_6 \approx 199.23$ мм рт. ст.

Ответ: давление воздуха внутри сосуда после шести движений поршня составит приблизительно 199,23 мм рт. ст.

641. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $a_n$ — длина стороны $n$-го равностороннего треугольника, а $P_n$ — его периметр. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 8$ см.

Высота $h_n$ равностороннего треугольника со стороной $a_n$ вычисляется по формуле $h_n = a_n \cdot \sin(60^\circ) = a_n \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи, сторона следующего, $(n+1)$-го, треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего, $n$-го, треугольника $h_n$. Таким образом, мы можем записать соотношение между сторонами двух последовательных треугольников: $$ a_{n+1} = h_n = a_n \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Периметр $n$-го треугольника равен $P_n = 3a_n$. Рассмотрим отношение периметра $(n+1)$-го треугольника к периметру $n$-го треугольника: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} $$ Подставив найденное ранее соотношение для сторон, получим: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{a_n \frac{\sqrt{3}}{2}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Поскольку отношение любого члена последовательности периметров к предыдущему является постоянной величиной, равной $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

и найдите периметр шестого треугольника

Для нахождения периметра шестого треугольника $P_6$ воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $P_n = P_1 \cdot q^{n-1}$.

Первый член прогрессии $P_1$ — это периметр исходного треугольника: $$ P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см} $$

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, равен $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим периметр шестого треугольника, подставив в формулу $n=6$: $$ P_6 = P_1 \cdot q^{6-1} = P_1 \cdot q^5 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 $$

Вычислим значение $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5$: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 = \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{32} $$

Подставим это значение в формулу для $P_6$ и произведем вычисления: $$ P_6 = 24 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} $$ Сократим дробь на 8: $$ P_6 = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ см} $$

Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.

642. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Пусть дан равносторонний треугольник $T_n$ со стороной $a_n$. Его периметр равен $P_n = 3a_n$.
Следующий треугольник, $T_{n+1}$, вписан в $T_n$, и его вершины являются серединами сторон треугольника $T_n$. Каждая сторона треугольника $T_{n+1}$ является средней линией для треугольника $T_n$.
По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, длина стороны треугольника $T_{n+1}$ равна $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$.
Поскольку все стороны треугольника $T_n$ равны, все три средние линии, образующие треугольник $T_{n+1}$, также равны между собой. Это означает, что треугольник $T_{n+1}$ тоже является равносторонним.
Теперь найдем отношение периметров двух последовательных треугольников, $P_{n+1}$ и $P_n$:
$P_{n+1} = 3a_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a_n\right) = \frac{1}{2} \cdot (3a_n) = \frac{1}{2}P_n$.
Отсюда отношение $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{1}{2}$.
Так как отношение каждого следующего члена последовательности периметров к предыдущему является постоянным числом $q = \frac{1}{2}$, то эта последовательность по определению является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.
Ответ: Последовательность периметров треугольников является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдите периметр восьмого треугольника.
Сначала определим периметр первого треугольника, $P_1$. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см.
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.
Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $P_1 = 48$ см и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно найти периметр восьмого треугольника, то есть $P_8$. Подставляем $n=8$:
$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$
$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 48 и 128 равен 16:
$P_8 = \frac{48 \div 16}{128 \div 16} = \frac{3}{8}$ см.
Ответ: $\frac{3}{8}$ см.

643. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно первому условию, сумма этих чисел равна 21:
$(a-d) + a + (a+d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$

Таким образом, три числа арифметической прогрессии можно записать как: $7-d$, $7$, $7+d$.

Согласно второму условию, если второе число уменьшить на 1 (получим $7-1=6$), а третье увеличить на 1 (получим $(7+d)+1 = 8+d$), то новые числа образуют геометрическую прогрессию. Эта новая последовательность имеет вид: $7-d$, $6$, $8+d$.

Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его крайних членов. Применим это свойство к нашей новой последовательности:
$6^2 = (7-d)(8+d)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$36 = 56 + 7d - 8d - d^2$
$36 = 56 - d - d^2$
$d^2 + d - 20 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-20$. Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 4$ и $d_2 = -5$.

Найдем два возможных набора исходных чисел, подставив найденные значения $d$.

При $d=4$ исходные числа арифметической прогрессии равны:
$a_1 = 7-4 = 3$,
$a_2 = 7$,
$a_3 = 7+4 = 11$.
Получаем набор чисел 3, 7, 11.

При $d=-5$ исходные числа арифметической прогрессии равны:
$a_1 = 7-(-5) = 12$,
$a_2 = 7$,
$a_3 = 7+(-5) = 2$.
Получаем набор чисел 12, 7, 2.

Проведем проверку для обоих наборов.
Для набора 3, 7, 11: сумма $3+7+11=21$. Новые числа $3, (7-1), (11+1)$, то есть $3, 6, 12$, образуют геометрическую прогрессию ($6^2 = 3 \cdot 12$).
Для набора 12, 7, 2: сумма $12+7+2=21$. Новые числа $12, (7-1), (2+1)$, то есть $12, 6, 3$, образуют геометрическую прогрессию ($6^2 = 12 \cdot 3$).
Оба набора являются решениями.

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.

644. Сумма трёх положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что, увеличив первое и второе числа на 1, а третье на 4, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть искомые три положительных числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d$, $a$, $a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Из первого условия известно, что сумма этих чисел равна 15. Составим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Таким образом, мы нашли средний член прогрессии, он равен 5. Теперь последовательность можно записать как $5-d$, $5$, $5+d$. Поскольку по условию все числа положительные, то первый член $5-d > 0$, откуда следует, что $d < 5$.

Согласно второму условию, если увеличить первое и второе числа на 1, а третье — на 4, то получится геометрическая прогрессия. Запишем новые числа:

• Первое число: $(5-d) + 1 = 6-d$
• Второе число: $5 + 1 = 6$
• Третье число: $(5+d) + 4 = 9+d$

Полученные числа $6-d$, $6$ и $9+d$ образуют геометрическую прогрессию.

Воспользуемся основным свойством геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних членов. $6^2 = (6-d)(9+d)$ $36 = 54 + 6d - 9d - d^2$ $36 = 54 - 3d - d^2$ Приведём уравнение к стандартному квадратному виду: $d^2 + 3d + 36 - 54 = 0$ $d^2 + 3d - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-18$. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и -6. Следовательно, у нас есть два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 3$ и $d_2 = -6$.

Рассмотрим каждый из двух случаев.

Случай 1: $d=3$.
Это значение удовлетворяет условию $d < 5$. Исходные числа арифметической прогрессии: $a_1 = 5-3 = 2$ $a_2 = 5$ $a_3 = 5+3 = 8$ Мы получили последовательность 2, 5, 8. Все числа положительны, их сумма $2+5+8=15$. Проверим второе условие: новые числа $2+1=3$, $5+1=6$, $8+4=12$. Последовательность 3, 6, 12 является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Этот вариант является решением задачи.

Случай 2: $d=-6$.
Это значение также удовлетворяет условию $d < 5$. Исходные числа арифметической прогрессии: $a_1 = 5-(-6) = 11$ $a_2 = 5$ $a_3 = 5+(-6) = -1$ В этой последовательности (11, 5, -1) третье число отрицательное, что противоречит начальному условию о том, что все три числа должны быть положительными. Следовательно, этот вариант не является решением.

Таким образом, существует только один набор чисел, удовлетворяющий всем условиям задачи.

Ответ: 2, 5, 8.

645. (Задача-исследование.) Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять геометрическую прогрессию?

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

3) Составьте уравнение и решите его.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

1) Сделайте чертёж и введите необходимые обозначения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть его катеты имеют длины a и b, а гипотенуза — c.

Предположим, что длины сторон a, b, c образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии через x, а знаменатель — через q. Поскольку длины сторон должны быть положительными числами, то $x > 0$ и $q > 0$.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Следовательно, её длина должна быть наибольшим членом прогрессии. Для определенности предположим, что знаменатель прогрессии $q > 1$, тогда члены прогрессии упорядочены по возрастанию. В этом случае стороны можно обозначить следующим образом:

Катет 1: $x$

Катет 2: $xq$

Гипотенуза: $xq^2$

Таким образом, мы рассматриваем прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длины x и xq, а гипотенуза — xq². Чертёж представляет собой стандартный прямоугольный треугольник с соответствующими обозначениями сторон.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника обозначены как x и xq, гипотенуза — как xq², где x — первый член геометрической прогрессии, а q — её знаменатель ($x > 0, q > 1$).

2) Какую теорему из курса геометрии можно использовать при ответе на вопрос задачи?

Для решения задачи используется теорема Пифагора, которая устанавливает фундаментальное соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Математически это записывается так: $a^2 + b^2 = c^2$.

Ответ: Теорему Пифагора.

3) Составьте уравнение и решите его.

Используя обозначения из пункта 1 и теорему Пифагора, составим уравнение. Подставим выражения для длин катетов ($x$ и $xq$) и гипотенузы ($xq^2$) в формулу $a^2 + b^2 = c^2$:

$(x)^2 + (xq)^2 = (xq^2)^2$

Раскроем скобки:

$x^2 + x^2 q^2 = x^2 q^4$

Поскольку длина стороны $x > 0$, то $x^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$1 + q^2 = q^4$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение стандартного вида:

$q^4 - q^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = q^2$. Поскольку мы предположили, что $q > 1$, то $y > 1$. Уравнение принимает вид:

$y^2 - y - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно y. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Мы получили два возможных значения для y: $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $y = q^2$, значение y должно быть положительным. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$, что не является допустимым решением. Следовательно, единственное возможное значение для y:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Это число известно как золотое сечение (φ). Теперь вернёмся к переменной q:

$q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Так как $q>0$, мы берём положительный корень: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$. Поскольку $y = q^2 \approx 1.618 > 1$, наше начальное предположение $q > 1$ выполняется. Существование действительного корня для q означает, что такой треугольник может существовать.

Ответ: Уравнение: $q^4 - q^2 - 1 = 0$. Решение для знаменателя прогрессии q: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$.

4) Сформулируйте вывод и выполните проверку.

Вывод: Да, длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Это возможно в том и только в том случае, если квадрат знаменателя q этой прогрессии равен числу золотого сечения, т.е. $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Проверка:

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон x, xq и xq², если $q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Проверка сводится к проверке равенства $1 + q^2 = q^4$.

Найдём значение $q^4$:

$q^4 = (q^2)^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}{2^2} = \frac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Теперь подставим значения $q^2$ и $q^4$ в левую и правую части проверяемого равенства.

Левая часть: $1 + q^2 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2 + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Правая часть: $q^4 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

Левая часть равна правой части, следовательно, наше решение верное. Это подтверждает, что такой треугольник действительно может существовать.

Ответ: Вывод: длины сторон прямоугольного треугольника могут составлять геометрическую прогрессию. Проверка подтверждает, что при знаменателе прогрессии $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$ теорема Пифагора выполняется, что доказывает возможность существования такого треугольника.