Страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

616. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 77). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

Рис. 77

616.

Количество шаров в каждом ряду (1 в первом, 2 во втором, 3 в третьем и т.д.) образует арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а разность $d = 1$. Общее число шаров в $n$ рядах — это сумма первых $n$ членов этой прогрессии, которая вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 1 + 1(n-1)}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120?

По условию, общее количество шаров $S_n = 120$. Нам необходимо найти число рядов $n$. Подставим известные значения в формулу суммы:
$\frac{n(n+1)}{2} = 120$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 240$
Раскроем скобки и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 240 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Поскольку число рядов $n$ не может быть отрицательным, правильным является корень $n = 15$.
Ответ: 15 рядов.

Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

В этом случае нам известно число рядов $n=30$. Необходимо найти общее количество шаров $S_{30}$.
Используем ту же формулу суммы:
$S_{30} = \frac{30(30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 15 \cdot 31 = 465$
Ответ: 465 шаров.

617.

Нам дана арифметическая прогрессия $3, 5, 7, \dots$.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d = 5 - 3 = 2$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставив значения $a_1$ и $d$, получим формулу для суммы данной прогрессии:
$S_n = \frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{4 + 2n}{2} \cdot n = (2+n)n$
По условию задачи, сумма не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства $S_n \le 120$.
$n(n+2) \le 120$
$n^2 + 2n - 120 \le 0$
Чтобы решить это квадратичное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$
Найдем корни: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$n = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 22}{2}$
$n_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями: $-12 \le n \le 10$.
Так как число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), то из полученного интервала нам подходят целые числа от 1 до 10. Наибольшее из них — 10.
Ответ: 10.

617. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии

$3, 5, 7, \dots$,

сумма которых не превосходит 120.

Данная последовательность 3, 5, 7, ... является арифметической прогрессией. Нам нужно найти наибольшее число ее членов $n$, сумма которых $S_n$ не превосходит 120.

Сначала определим параметры этой прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом:

$d = 5 - 3 = 2$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию задачи, сумма не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства:

$S_n \le 120$

Подставим значения $a_1 = 3$ и $d = 2$ в это неравенство:

$\frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n \le 120$

Теперь решим это неравенство относительно $n$. Упростим выражение в левой части:

$\frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n \le 120$

$\frac{4 + 2n}{2} \cdot n \le 120$

$(2 + n) \cdot n \le 120$

$n^2 + 2n \le 120$

$n^2 + 2n - 120 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$. Корень из дискриминанта $\sqrt{484} = 22$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$n_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю между ее корнями. Таким образом, решение неравенства $n^2 + 2n - 120 \le 0$ есть промежуток $[-12, 10]$.

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.

Объединяя условия $-12 \le n \le 10$ и $n \ge 1$, получаем, что $n$ может принимать целые значения от 1 до 10 включительно.

Наибольшее возможное целое значение для $n$ в этом диапазоне — это 10.

Ответ: 10.

618. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, ..., при сложении которых получается положительное число.

Данная последовательность чисел 17, 14, 11, ... является арифметической прогрессией. Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 17$.

Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 14 - 17 = -3$.

Нам нужно найти наибольшее число членов $n$, при котором их сумма $S_n$ будет положительной. Математически это условие записывается как неравенство:

$S_n > 0$.

Формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 17$ и $d = -3$ и решим полученное неравенство относительно $n$:

$\frac{2 \cdot 17 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n > 0$.

Поскольку $n$ (число членов прогрессии) по определению является положительным целым числом, мы можем разделить обе части неравенства на $n$ без изменения знака неравенства:

$\frac{2 \cdot 17 - 3(n-1)}{2} > 0$.

Теперь решим это упрощенное неравенство:

$\frac{34 - 3n + 3}{2} > 0$

$\frac{37 - 3n}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$37 - 3n > 0$

Перенесем $3n$ в правую часть:

$37 > 3n$

Разделим на 3:

$n < \frac{37}{3}$

Преобразуем дробь в смешанное число:

$n < 12\frac{1}{3}$.

Так как $n$ должно быть целым числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 12. Это означает, что сумма 12 членов прогрессии еще будет положительной, а сумма 13 членов уже станет отрицательной или равной нулю.

Проверим: $S_{12} = \frac{2 \cdot 17 - 3(12-1)}{2} \cdot 12 = \frac{34 - 3 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \frac{34-33}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Сумма положительна. $S_{13} = S_{12} + a_{13} = 6 + (17 + (13-1)(-3)) = 6 + (17 - 36) = 6 - 19 = -13$. Сумма отрицательна.

Таким образом, наибольшее число членов, при котором сумма положительна, равно 12.

Ответ: 12

619. В арифметической прогрессии $a_7 = 8$ и $a_{11} = 12,8$. Найдите $a_1$ и $d$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам известны седьмой и одиннадцатый члены прогрессии:

$a_7 = 8$

$a_{11} = 12,8$

Подставим эти данные в формулу n-го члена, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$ \begin{cases} a_1 + (7-1)d = 8 \\ a_1 + (11-1)d = 12,8 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a_1 + 6d = 8 \\ a_1 + 10d = 12,8 \end{cases} $

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 6d) = 12,8 - 8$

$a_1 + 10d - a_1 - 6d = 4,8$

$4d = 4,8$

$d = \frac{4,8}{4}$

$d = 1,2$

Теперь, когда мы нашли разность прогрессии, подставим её значение в первое уравнение системы, чтобы найти первый член $a_1$:

$a_1 + 6 \cdot 1,2 = 8$

$a_1 + 7,2 = 8$

$a_1 = 8 - 7,2$

$a_1 = 0,8$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 0,8, а её разность равна 1,2.

Ответ: $a_1 = 0,8$; $d = 1,2$.

620. Является ли членом арифметической прогрессии $20,7; 18,3; \dots$ число:

а) $-1,3$;

б) $-3,3?$

Для того чтобы определить, является ли указанное число членом арифметической прогрессии, сначала найдем ее основные параметры: первый член и разность.

Дана арифметическая прогрессия: $20,7; 18,3; \ldots$ Первый член прогрессии: $a_1 = 20.7$. Второй член прогрессии: $a_2 = 18.3$.

Разность арифметической прогрессии $d$ вычисляется как разница между последующим и предыдущим членами: $d = a_2 - a_1 = 18.3 - 20.7 = -2.4$.

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Число является членом прогрессии, если его порядковый номер $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

а)

Проверим, является ли число $-1.3$ членом этой прогрессии. Пусть $a_n = -1.3$. Подставим известные значения в формулу: $-1.3 = 20.7 + (n-1) \cdot (-2.4)$

Решим это уравнение относительно $n$: $-1.3 - 20.7 = (n-1) \cdot (-2.4)$ $-22 = (n-1) \cdot (-2.4)$ $n-1 = \frac{-22}{-2.4}$ $n-1 = \frac{22}{2.4} = \frac{220}{24} = \frac{55}{6}$

Так как $n-1 = \frac{55}{6}$ не является целым числом, то и $n = \frac{55}{6} + 1 = \frac{61}{6}$ не будет натуральным числом. Следовательно, число $-1.3$ не является членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: не является.

б)

Проверим, является ли число $-3.3$ членом этой прогрессии. Пусть $a_n = -3.3$. Подставим известные значения в формулу: $-3.3 = 20.7 + (n-1) \cdot (-2.4)$

Решим это уравнение относительно $n$: $-3.3 - 20.7 = (n-1) \cdot (-2.4)$ $-24 = (n-1) \cdot (-2.4)$ $n-1 = \frac{-24}{-2.4}$ $n-1 = 10$

Найдем $n$: $n = 10 + 1 = 11$

Так как $n = 11$ является натуральным числом, то число $-3.3$ является 11-м членом данной арифметической прогрессии.
Ответ: является.

621. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases} $$

Преобразуем систему. Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = \frac{2}{3}$.

Первое уравнение разделим на 9: $9(x^2 + y^2) = 13 \implies x^2 + y^2 = \frac{13}{9}$.

Получим систему, эквивалентную исходной:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{13}{9}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим известные значения из нашей системы:

$(x+y)^2 = \frac{13}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{9} + \frac{4}{3} = \frac{13+12}{9} = \frac{25}{9}$.

Из этого следует, что $x+y = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$, то есть $x+y = \frac{5}{3}$ или $x+y = -\frac{5}{3}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+y = \frac{5}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{5}{3}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - \frac{5}{3}t + \frac{2}{3} = 0$.

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$, $t_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, решениями в этом случае являются пары $(1; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; 1)$.

Случай 2: $x+y = -\frac{5}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -\frac{5}{3}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-\frac{5}{3})t + \frac{2}{3} = 0$, то есть $t^2 + \frac{5}{3}t + \frac{2}{3} = 0$.

Умножим уравнение на 3: $3t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 1}{6}$.

$t_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{-6}{6} = -1$.

Таким образом, решениями в этом случае являются пары $(-1; -\frac{2}{3})$ и $(-\frac{2}{3}; -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(1; \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}; 1), (-1; -\frac{2}{3}), (-\frac{2}{3}; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9. \end{cases} $$

Данная система является линейной относительно $x^2$ и $y^2$. Введем замену переменных: пусть $u = x^2$ и $v = y^2$. Так как квадраты действительных чисел не могут быть отрицательными, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 29, \\ v - 4u = 9. \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Вычтем второе уравнение из первого:

$(u+v) - (v-4u) = 29 - 9$

$u+v - v+4u = 20$

$5u = 20$

$u = 4$.

Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:

$4 + v = 29$

$v = 25$.

Мы получили $u=4$ и $v=25$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Теперь выполним обратную замену:

$x^2 = u = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.

$y^2 = v = 25 \implies y = \pm\sqrt{25} \implies y = \pm 5$.

Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5)$.

622. Покажите штриховкой множество точек, которое задаёт на координатной плоскости система неравенств

$$\begin{cases} y \ge x^2, \\ 2y + x \le 5. \end{cases}$$

Для того чтобы показать на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств, необходимо построить графики функций, соответствующих границам областей для каждого неравенства, и определить, какая из полуплоскостей (или областей) удовлетворяет каждому неравенству. Искомым множеством будет пересечение (общая часть) этих областей.

Дана система неравенств:$$\begin{cases} y \ge x^2, \\2y + x \le 5. \end{cases}$$

1. Анализ первого неравенства $y \ge x^2$

Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой параболе, также являются частью решения. Неравенство $y \ge x^2$ означает, что нас интересуют все точки, у которых ордината ($y$) больше или равна квадрату абсциссы ($x^2$). Это соответствует области, расположенной "внутри" или "выше" параболы.

2. Анализ второго неравенства $2y + x \le 5$

Это линейное неравенство. Выразим $y$, чтобы привести его к более удобному виду:$2y \le 5 - x$$y \le -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$Границей этой области является прямая $y = -0.5x + 2.5$. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому точки на самой прямой также входят в решение. Неравенство $y \le -0.5x + 2.5$ задает полуплоскость, расположенную "ниже" этой прямой. Для построения прямой найдем две точки.

• Если $x=0$, то $y = 2.5$. Точка $(0, 2.5)$.
• Если $x=5$, то $y = -0.5(5) + 2.5 = -2.5 + 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

3. Нахождение точек пересечения границ

Чтобы точно определить границы искомой области, найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $2y + x = 5$. Для этого решим систему уравнений:$$\begin{cases} y = x^2 \\2y + x = 5 \end{cases}$$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$2(x^2) + x = 5$$2x^2 + x - 5 = 0$Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$Корни уравнения для $x$:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$Найдем соответствующие значения $y$, используя $y=x^2$:$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1.85$, $y_1 = x_1^2 = \left(\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 = \frac{1 + 41 + 2\sqrt{41}}{16} = \frac{42 + 2\sqrt{41}}{16} = \frac{21 + \sqrt{41}}{8} \approx 3.43$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1.35$, $y_2 = x_2^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 = \frac{1 + 41 - 2\sqrt{41}}{16} = \frac{42 - 2\sqrt{41}}{16} = \frac{21 - \sqrt{41}}{8} \approx 1.82$Таким образом, границы пересекаются в точках $A\left(\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}, \frac{21 + \sqrt{41}}{8}\right)$ и $B\left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}, \frac{21 - \sqrt{41}}{8}\right)$.

4. Изображение решения на координатной плоскости

Решением системы неравенств является пересечение двух областей: области внутри параболы $y=x^2$ (включая ее границу) и полуплоскости ниже прямой $2y+x=5$ (включая ее границу). Это замкнутая фигура, ограниченная снизу дугой параболы между точками A и B, а сверху — отрезком прямой, соединяющим эти же точки.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная снизу параболой $y=x^2$ и сверху прямой $2y+x=5$. Границы (парабола и прямая) включаются в множество, так как неравенства нестрогие. На графике ниже эта область показана штриховкой.

Приведите пример последовательности, заданной:

а) формулой $n$-го члена;

б) рекуррентной формулой.

Найдите пять первых членов этой последовательности.

а) формулой n-го члена

Последовательность, заданная формулой n-го члена (или аналитически), позволяет вычислить любой ее член, зная его порядковый номер $n$. В качестве примера рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел, увеличенных на единицу. Формула n-го члена для такой последовательности имеет вид: $a_n = n^2 + 1$.

Найдем первые пять членов этой последовательности, подставляя в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$a_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$a_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$a_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$

$a_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Ответ: Пример последовательности, заданной формулой n-го члена: $a_n = n^2 + 1$. Первые пять членов этой последовательности: 2, 5, 10, 17, 26.

б) рекуррентной формулой

Рекуррентная формула задает член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для задания такой последовательности необходимо также указать ее начальные члены. Классическим примером является последовательность Фибоначчи, в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Она задается следующим образом: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$.

Найдем первые пять членов этой последовательности:

$a_1 = 1$ (задан по определению)

$a_2 = 1$ (задан по определению)

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$

$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$

$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$

Ответ: Пример последовательности, заданной рекуррентной формулой: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$. Первые пять членов этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5.

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность (обозначается как $a_n$), в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Это определение можно выразить рекуррентной формулой: $a_{n+1} = a_n + d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_{n+1}$ — следующий за ним член, а $d$ — постоянное число, называемое разностью прогрессии.

Чтобы однозначно задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член $a_1$ и разность $d$.

Пример: Последовательность 5, 8, 11, 14, ... является арифметической прогрессией, так как каждый следующий элемент получается прибавлением числа 3 к предыдущему. В данном случае первый член $a_1 = 5$, а разность $d = 3$.

Ответ: Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого постоянного для данной последовательности числа.

Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

Число, которое необходимо прибавить к любому члену арифметической прогрессии, чтобы получить следующий за ним член, называют разностью арифметической прогрессии. Обычно разность обозначают латинской буквой $d$.

Разность можно вычислить, если из любого члена прогрессии, начиная со второго, вычесть предыдущий: $d = a_{n+1} - a_n$.

В зависимости от знака разности $d$, прогрессия имеет свой характер:
• если $d > 0$, то прогрессия является возрастающей (каждый следующий член больше предыдущего);
• если $d < 0$, то прогрессия является убывающей (каждый следующий член меньше предыдущего);
• если $d = 0$, то прогрессия является стационарной (все члены равны между собой).

Ответ: Разностью арифметической прогрессии называют постоянное число $d$, на которое каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего.

Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии.

Рассмотрим три последовательных члена арифметической прогрессии: $a_{n-1}$ (предыдущий член), $a_n$ (текущий член) и $a_{n+1}$ (последующий член). Условие задачи выполняется для $n \ge 2$.

По определению арифметической прогрессии мы можем записать:
$a_n = a_{n-1} + d$ (1)
$a_{n+1} = a_n + d$ (2)

Выразим разность прогрессии $d$ из каждого равенства:
Из (1) получаем: $d = a_n - a_{n-1}$
Из (2) получаем: $d = a_{n+1} - a_n$

Так как разность $d$ одна и та же, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Теперь решим это уравнение относительно $a_n$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $a_n$, в одной части уравнения, а остальные — в другой.
$a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделив обе части уравнения на 2, получим формулу, выражающую член $a_n$ через его соседей:
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Это означает, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это является характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, выражается как среднее арифметическое предыдущего и последующего членов по формуле: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

Запишите формулы $n$-го члена и суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.

Для нахождения любого члена прогрессии по его номеру используется формула n-го члена. В этой формуле используются следующие обозначения:
$a_n$ — n-й член прогрессии (искомый член);
$a_1$ — первый член прогрессии;
$d$ — разность прогрессии;
$n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Формула выводится непосредственно из определения. Чтобы найти n-й член, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$ ровно $(n-1)$ раз. Проследим эту логику:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
$a_4 = a_3 + d = (a_1 + 2d) + d = a_1 + 3d$
Закономерность очевидна: коэффициент при $d$ всегда на единицу меньше номера члена прогрессии.

Таким образом, общая формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Ответ: $a_n = a_1 + d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, обозначаемая как $S_n$, может быть вычислена по двум основным формулам в зависимости от известных данных.

Первая (классическая) формула применяется, когда известны первый ($a_1$) и последний ($a_n$) из суммируемых членов, а также их количество ($n$). Сумма равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Вторая формула является более универсальной, так как для неё не требуется знать значение последнего члена $a_n$. Она используется, когда известны первый член ($a_1$), разность прогрессии ($d$) и количество членов ($n$). Эту формулу получают путем подстановки формулы n-го члена ($a_n = a_1 + d(n-1)$) в первую формулу суммы:

$S_n = \frac{a_1 + (a_1 + d(n-1))}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Выбор конкретной формулы для решения задачи зависит от того, какие параметры прогрессии даны в условии.

Ответ: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ или $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$