Номер 621, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

621. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13, \\ 3xy = 2; \end{cases} $$

Преобразуем систему. Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = \frac{2}{3}$.

Первое уравнение разделим на 9: $9(x^2 + y^2) = 13 \implies x^2 + y^2 = \frac{13}{9}$.

Получим систему, эквивалентную исходной:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{13}{9}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.

Подставим известные значения из нашей системы:

$(x+y)^2 = \frac{13}{9} + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{9} + \frac{4}{3} = \frac{13+12}{9} = \frac{25}{9}$.

Из этого следует, что $x+y = \pm\sqrt{\frac{25}{9}}$, то есть $x+y = \frac{5}{3}$ или $x+y = -\frac{5}{3}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+y = \frac{5}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{5}{3}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - \frac{5}{3}t + \frac{2}{3} = 0$.

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей: $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$, $t_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Таким образом, решениями в этом случае являются пары $(1; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; 1)$.

Случай 2: $x+y = -\frac{5}{3}$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = -\frac{5}{3}, \\ xy = \frac{2}{3}. \end{cases} $$

Аналогично, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-\frac{5}{3})t + \frac{2}{3} = 0$, то есть $t^2 + \frac{5}{3}t + \frac{2}{3} = 0$.

Умножим уравнение на 3: $3t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 1}{6}$.

$t_1 = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{-6}{6} = -1$.

Таким образом, решениями в этом случае являются пары $(-1; -\frac{2}{3})$ и $(-\frac{2}{3}; -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(1; \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}; 1), (-1; -\frac{2}{3}), (-\frac{2}{3}; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ y^2 - 4x^2 = 9. \end{cases} $$

Данная система является линейной относительно $x^2$ и $y^2$. Введем замену переменных: пусть $u = x^2$ и $v = y^2$. Так как квадраты действительных чисел не могут быть отрицательными, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 29, \\ v - 4u = 9. \end{cases} $$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Вычтем второе уравнение из первого:

$(u+v) - (v-4u) = 29 - 9$

$u+v - v+4u = 20$

$5u = 20$

$u = 4$.

Подставим найденное значение $u$ в первое уравнение системы:

$4 + v = 29$

$v = 25$.

Мы получили $u=4$ и $v=25$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Теперь выполним обратную замену:

$x^2 = u = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x = \pm 2$.

$y^2 = v = 25 \implies y = \pm\sqrt{25} \implies y = \pm 5$.

Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2; 5), (2; -5), (-2; 5), (-2; -5)$.