Номер 618, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

618. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, ..., при сложении которых получается положительное число.

Данная последовательность чисел 17, 14, 11, ... является арифметической прогрессией. Найдем ее основные параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 17$.

Разность прогрессии $d$ — это величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 14 - 17 = -3$.

Нам нужно найти наибольшее число членов $n$, при котором их сумма $S_n$ будет положительной. Математически это условие записывается как неравенство:

$S_n > 0$.

Формула для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 17$ и $d = -3$ и решим полученное неравенство относительно $n$:

$\frac{2 \cdot 17 + (-3)(n-1)}{2} \cdot n > 0$.

Поскольку $n$ (число членов прогрессии) по определению является положительным целым числом, мы можем разделить обе части неравенства на $n$ без изменения знака неравенства:

$\frac{2 \cdot 17 - 3(n-1)}{2} > 0$.

Теперь решим это упрощенное неравенство:

$\frac{34 - 3n + 3}{2} > 0$

$\frac{37 - 3n}{2} > 0$

Умножим обе части на 2:

$37 - 3n > 0$

Перенесем $3n$ в правую часть:

$37 > 3n$

Разделим на 3:

$n < \frac{37}{3}$

Преобразуем дробь в смешанное число:

$n < 12\frac{1}{3}$.

Так как $n$ должно быть целым числом, то наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 12. Это означает, что сумма 12 членов прогрессии еще будет положительной, а сумма 13 членов уже станет отрицательной или равной нулю.

Проверим: $S_{12} = \frac{2 \cdot 17 - 3(12-1)}{2} \cdot 12 = \frac{34 - 3 \cdot 11}{2} \cdot 12 = \frac{34-33}{2} \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$. Сумма положительна. $S_{13} = S_{12} + a_{13} = 6 + (17 + (13-1)(-3)) = 6 + (17 - 36) = 6 - 19 = -13$. Сумма отрицательна.

Таким образом, наибольшее число членов, при котором сумма положительна, равно 12.

Ответ: 12