Номер 612, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

612. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии ($c_n$), если $c_7 = 18,5$ и $c_{17} = -26,5$.

Для решения задачи нам понадобятся формула n-го члена арифметической прогрессии и формула суммы первых n членов.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(c_n)$ имеет вид:

$c_n = c_1 + d(n-1)$

где $c_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам известны седьмой и семнадцатый члены прогрессии:

$c_7 = 18,5$

$c_{17} = -26,5$

Используя формулу n-го члена, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($c_1$ и $d$):

$\begin{cases} c_7 = c_1 + d(7-1) \\ c_{17} = c_1 + d(17-1) \end{cases} \implies \begin{cases} 18,5 = c_1 + 6d \\ -26,5 = c_1 + 16d \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(c_1 + 16d) - (c_1 + 6d) = -26,5 - 18,5$

$10d = -45$

$d = \frac{-45}{10} = -4,5$

Теперь найдём первый член прогрессии $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$18,5 = c_1 + 6 \cdot (-4,5)$

$18,5 = c_1 - 27$

$c_1 = 18,5 + 27$

$c_1 = 45,5$

Теперь, когда мы знаем первый член $c_1$ и разность $d$, мы можем найти сумму первых двадцати членов прогрессии ($S_{20}$).

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2c_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения: $n=20$, $c_1=45,5$ и $d=-4,5$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 45,5 + (-4,5)(20-1)}{2} \cdot 20$

Упростим выражение:

$S_{20} = (2 \cdot 45,5 - 4,5 \cdot 19) \cdot \frac{20}{2}$

$S_{20} = (91 - 85,5) \cdot 10$

$S_{20} = 5,5 \cdot 10$

$S_{20} = 55$

Ответ: 55