Номер 617, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

617. Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии

$3, 5, 7, \dots$,

сумма которых не превосходит 120.

Данная последовательность 3, 5, 7, ... является арифметической прогрессией. Нам нужно найти наибольшее число ее членов $n$, сумма которых $S_n$ не превосходит 120.

Сначала определим параметры этой прогрессии.

Первый член прогрессии: $a_1 = 3$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между любым последующим и предыдущим членом:

$d = 5 - 3 = 2$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Согласно условию задачи, сумма не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства:

$S_n \le 120$

Подставим значения $a_1 = 3$ и $d = 2$ в это неравенство:

$\frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n \le 120$

Теперь решим это неравенство относительно $n$. Упростим выражение в левой части:

$\frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n \le 120$

$\frac{4 + 2n}{2} \cdot n \le 120$

$(2 + n) \cdot n \le 120$

$n^2 + 2n \le 120$

$n^2 + 2n - 120 \le 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$. Корень из дискриминанта $\sqrt{484} = 22$.

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$n_2 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции меньше или равны нулю между ее корнями. Таким образом, решение неравенства $n^2 + 2n - 120 \le 0$ есть промежуток $[-12, 10]$.

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом, то есть $n \ge 1$.

Объединяя условия $-12 \le n \le 10$ и $n \ge 1$, получаем, что $n$ может принимать целые значения от 1 до 10 включительно.

Наибольшее возможное целое значение для $n$ в этом диапазоне — это 10.

Ответ: 10.