Номер 622, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

622. Покажите штриховкой множество точек, которое задаёт на координатной плоскости система неравенств

$$\begin{cases} y \ge x^2, \\ 2y + x \le 5. \end{cases}$$

Для того чтобы показать на координатной плоскости множество точек, задаваемое системой неравенств, необходимо построить графики функций, соответствующих границам областей для каждого неравенства, и определить, какая из полуплоскостей (или областей) удовлетворяет каждому неравенству. Искомым множеством будет пересечение (общая часть) этих областей.

Дана система неравенств:$$\begin{cases} y \ge x^2, \\2y + x \le 5. \end{cases}$$

1. Анализ первого неравенства $y \ge x^2$

Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2$. Это стандартная парабола, вершина которой находится в начале координат (0,0), а ветви направлены вверх. Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки, лежащие на самой параболе, также являются частью решения. Неравенство $y \ge x^2$ означает, что нас интересуют все точки, у которых ордината ($y$) больше или равна квадрату абсциссы ($x^2$). Это соответствует области, расположенной "внутри" или "выше" параболы.

2. Анализ второго неравенства $2y + x \le 5$

Это линейное неравенство. Выразим $y$, чтобы привести его к более удобному виду:$2y \le 5 - x$$y \le -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$Границей этой области является прямая $y = -0.5x + 2.5$. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому точки на самой прямой также входят в решение. Неравенство $y \le -0.5x + 2.5$ задает полуплоскость, расположенную "ниже" этой прямой. Для построения прямой найдем две точки.

• Если $x=0$, то $y = 2.5$. Точка $(0, 2.5)$.
• Если $x=5$, то $y = -0.5(5) + 2.5 = -2.5 + 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

3. Нахождение точек пересечения границ

Чтобы точно определить границы искомой области, найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $2y + x = 5$. Для этого решим систему уравнений:$$\begin{cases} y = x^2 \\2y + x = 5 \end{cases}$$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$2(x^2) + x = 5$$2x^2 + x - 5 = 0$Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41$Корни уравнения для $x$:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$Найдем соответствующие значения $y$, используя $y=x^2$:$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1.85$, $y_1 = x_1^2 = \left(\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}\right)^2 = \frac{1 + 41 + 2\sqrt{41}}{16} = \frac{42 + 2\sqrt{41}}{16} = \frac{21 + \sqrt{41}}{8} \approx 3.43$$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1.35$, $y_2 = x_2^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 = \frac{1 + 41 - 2\sqrt{41}}{16} = \frac{42 - 2\sqrt{41}}{16} = \frac{21 - \sqrt{41}}{8} \approx 1.82$Таким образом, границы пересекаются в точках $A\left(\frac{-1 - \sqrt{41}}{4}, \frac{21 + \sqrt{41}}{8}\right)$ и $B\left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{4}, \frac{21 - \sqrt{41}}{8}\right)$.

4. Изображение решения на координатной плоскости

Решением системы неравенств является пересечение двух областей: области внутри параболы $y=x^2$ (включая ее границу) и полуплоскости ниже прямой $2y+x=5$ (включая ее границу). Это замкнутая фигура, ограниченная снизу дугой параболы между точками A и B, а сверху — отрезком прямой, соединяющим эти же точки.

Ответ: Искомое множество точек — это область на координатной плоскости, ограниченная снизу параболой $y=x^2$ и сверху прямой $2y+x=5$. Границы (парабола и прямая) включаются в множество, так как неравенства нестрогие. На графике ниже эта область показана штриховкой.