Номер 625, страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

625. Последовательность ($x_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_7$, если $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$;

б) $x_8$, если $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$;

в) $x_{10}$, если $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$;

г) $x_6$, если $x_1 = -125$, $q = 0,2$;

д) $x_5$, если $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$;

е) $x_4$, если $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии ($x_n$) используется формула $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

а) Дано: $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти $x_7$.
Подставляем значения в формулу для $n=7$:
$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Дано: $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$. Требуется найти $x_8$.
Подставляем значения в формулу для $n=8$:
$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7 = -810 \cdot \frac{1}{2187}$.
Так как $810 = 10 \cdot 81 = 10 \cdot 3^4$ и $2187 = 3^7$, то:
$x_8 = -\frac{10 \cdot 3^4}{3^7} = -\frac{10}{3^{7-4}} = -\frac{10}{3^3} = -\frac{10}{27}$.
Ответ: $-\frac{10}{27}$

в) Дано: $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$. Требуется найти $x_{10}$.
Подставляем значения в формулу для $n=10$:
$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9$.
Поскольку степень 9 нечетная, знак минус сохраняется: $x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = -(\sqrt{2})^{1+9} = -(\sqrt{2})^{10}$.
Так как $(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$, получаем:
$x_{10} = -32$.
Ответ: $-32$

г) Дано: $x_1 = -125$, $q = 0,2$. Требуется найти $x_6$.
Представим знаменатель в виде обыкновенной дроби: $q = 0,2 = \frac{1}{5}$.
Подставляем значения в формулу для $n=6$:
$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = -125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = -5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.
В виде десятичной дроби это $-0,04$.
Ответ: $-0,04$

д) Дано: $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$. Требуется найти $x_5$.
Подставляем значения в формулу для $n=5$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{2^4}{3^4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81}$.
Сокращаем дробь: $x_5 = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 81} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 27} = \frac{4}{27}$.
Ответ: $\frac{4}{27}$

е) Дано: $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Требуется найти $x_4$.
Представим первый член в виде обыкновенной дроби: $x_1 = 1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Подставляем значения в формулу для $n=4$:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = \frac{9}{5} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{9}{5} \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{9}{5} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27}$.
Сокращаем дробь: $x_4 = \frac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{27\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$