Номер 630, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

630. Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если: Рис. 79

а) $b_6 = 3, q = 3;$

б) $b_5 = 17\frac{1}{2}, q = -2\frac{1}{2}.$

Для нахождения первого члена $b_1$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Из этой формулы можно выразить первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

а) Даны шестой член прогрессии $b_6 = 3$ и знаменатель $q = 3$.

Чтобы найти первый член, используем формулу для $n=6$:

$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{b_6}{q^5}$

Подставим известные значения в формулу:

$b_1 = \frac{3}{3^5}$

Вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Тогда:

$b_1 = \frac{3}{243}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$b_1 = \frac{1}{81}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{81}$.

б) Даны пятый член прогрессии $b_5 = 17\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -2\frac{1}{2}$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$b_5 = 17\frac{1}{2} = \frac{17 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{35}{2}$

$q = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$

Чтобы найти первый член, используем формулу для $n=5$:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим значения в формулу:

$b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{(-\frac{5}{2})^4}$

Сначала вычислим знаменатель $q^4$:

$(-\frac{5}{2})^4 = (\frac{5}{2})^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_1$:

$b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{\frac{625}{16}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$b_1 = \frac{35}{2} \cdot \frac{16}{625}$

Сократим выражение:

$b_1 = \frac{35 \cdot 16}{2 \cdot 625} = \frac{35 \cdot 8}{625} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 8}{5 \cdot 125} = \frac{7 \cdot 8}{125} = \frac{56}{125}$

Ответ: $b_1 = \frac{56}{125}$.