Номер 633, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

633. Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $b_6$, если $b_1 = 125$, $b_3 = 5$;

б) $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}$, $b_3 = -2$;

в) $b_1$, если $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

а) $b_6$, если $b_1 = 125, b_3 = 5$;

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для третьего члена прогрессии $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим заданные значения $b_1 = 125$ и $b_3 = 5$ в формулу:

$5 = 125 \cdot q^2$

Отсюда найдем квадрат знаменателя $q^2$:

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Это означает, что знаменатель $q$ может иметь два возможных значения:

$q = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь найдем шестой член прогрессии $b_6$, используя формулу $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$. Рассмотрим оба случая для $q$.

1. Если $q = \frac{1}{5}$:

$b_6 = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^5 = 5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

2. Если $q = -\frac{1}{5}$:

$b_6 = 125 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^5 = 5^3 \cdot \left(-\frac{1}{5^5}\right) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_6 = \frac{1}{25}$ или $b_6 = -\frac{1}{25}$.

б) $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}, b_3 = -2$;

Как и в предыдущем пункте, начнем с нахождения знаменателя прогрессии $q$.

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_1 = -\frac{2}{9}$ и $b_3 = -2$:

$-2 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot q^2$

Найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = -2 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = 9$

Теперь необходимо найти седьмой член прогрессии $b_7$. Формула для $b_7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Мы можем выразить $q^6$ через $q^2$, которое мы уже нашли: $q^6 = (q^2)^3$. Это позволяет найти $b_7$, не находя $q$ явным образом.

Подставим значения в формулу для $b_7$:

$b_7 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot (9)^3 = -\frac{2}{9} \cdot 729 = -2 \cdot \frac{729}{9} = -2 \cdot 81 = -162$.

Поскольку $q^6 = (\pm 3)^6 = 729$, значение $b_7$ является однозначным.

Ответ: $b_7 = -162$.

в) $b_1$, если $b_4 = -1, b_6 = -100$.

Связь между двумя произвольными членами геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$ задается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Применим эту формулу для $b_6$ и $b_4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_4 = -1$ и $b_6 = -100$:

$-100 = (-1) \cdot q^2$

$q^2 = 100$

Следовательно, знаменатель $q$ может быть равен $10$ или $-10$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Используем формулу, связывающую $b_4$ и $b_1$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выразим отсюда $b_1$:

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Рассмотрим оба возможных значения $q$.

1. Если $q = 10$:

$b_1 = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0.001$.

2. Если $q = -10$:

$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0.001$.

В этом случае задача также имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = -\frac{1}{1000}$ или $b_1 = \frac{1}{1000}$.