Страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

627. Найдите седьмой и n-й члены геометрической прогрессии:

а) 2; -6; ... ;

б) -40; -20; ... ;

в) -0,125; 0,25; ... ;

г) -10; 10; ... .

Общая формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) выглядит так: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) 2; –6; ...

Первый член прогрессии $b_1 = 2$.
Второй член прогрессии $b_2 = -6$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{2} = -3$.
Теперь, используя общую формулу, найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = 2 \cdot (-3)^6 = 2 \cdot 729 = 1458$.
Формула n-го члена для этой прогрессии:
$b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

Ответ: седьмой член $b_7 = 1458$; n-й член $b_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$.

б) –40; –20; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -40$.
Второй член прогрессии $b_2 = -20$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -40 \cdot (\frac{1}{2})^6 = -40 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{40}{64} = -\frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8} = -\frac{5}{8} = -0,625$.
Формула n-го члена для этой прогрессии:
$b_n = -40 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ или $b_n = -40 \cdot (0,5)^{n-1}$.

Ответ: седьмой член $b_7 = -0,625$; n-й член $b_n = -40 \cdot (0,5)^{n-1}$.

в) –0,125; 0,25; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -0,125$.
Второй член прогрессии $b_2 = 0,25$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0,25}{-0,125} = -2$.
Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -0,125 \cdot (-2)^6 = -0,125 \cdot 64 = -8$.
Формула n-го члена для этой прогрессии:
$b_n = -0,125 \cdot (-2)^{n-1}$.

Ответ: седьмой член $b_7 = -8$; n-й член $b_n = -0,125 \cdot (-2)^{n-1}$.

г) –10; 10; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -10$.
Второй член прогрессии $b_2 = 10$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-10} = -1$.
Найдем седьмой член прогрессии ($n=7$):
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = -10 \cdot (-1)^6 = -10 \cdot 1 = -10$.
Формула n-го члена для этой прогрессии:
$b_n = -10 \cdot (-1)^{n-1}$.

Ответ: седьмой член $b_7 = -10$; n-й член $b_n = -10 \cdot (-1)^{n-1}$.

628. Найдите шестой и $n$-й члены геометрической прогрессии:

а) 48; 12; ... ;

б) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ... ;

в) -0,001; -0,01; ... ;

г) -100; 10; ... .

Чтобы найти шестой и n-й члены геометрической прогрессии, необходимо сначала определить её первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Знаменатель находится путем деления второго члена прогрессии на первый ($q = b_2 / b_1$). Затем используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

а) 48; 12; ...

В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 48$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в общую формулу:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3}{64}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$. Эту формулу можно упростить: $b_n = 3 \cdot 16 \cdot (4^{-1})^{n-1} = 3 \cdot 4^2 \cdot 4^{1-n} = 3 \cdot 4^{3-n}$.

Ответ: $b_6 = \frac{3}{64}$, $b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$.

б) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = \frac{2 \cdot 32}{9} \cdot \left(-\frac{27 \cdot 9}{32}\right) = 2 \cdot (-27) = -54$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

Ответ: $b_6 = -54$, $b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

в) -0,001; -0,01; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -0,001$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-0,01}{-0,001} = 10$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -0,001 \cdot 10^5 = -0,001 \cdot 100000 = -100$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = -0,001 \cdot 10^{n-1}$. Упростим выражение: $b_n = -10^{-3} \cdot 10^{n-1} = -10^{n-1-3} = -10^{n-4}$.

Ответ: $b_6 = -100$, $b_n = -10^{n-4}$.

г) -100; 10; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -100$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{10}{-100} = -0,1$ или $-\frac{1}{10}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -100 \cdot (-0,1)^5 = -100 \cdot (-0,00001) = 0,001$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$. Упростим выражение: $b_n = -10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot (10^{-1})^{n-1} = (-1)^1 \cdot 10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 10^{1-n} = (-1)^{n} \cdot 10^{3-n}$.

Ответ: $b_6 = 0,001$, $b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$.

629. В треугольнике $ABC$ (рис. 79) провели среднюю линию $A_1C_1$, в треугольнике $A_1BC_1$ также провели среднюю линию $A_2C_2$, во вновь образовавшемся треугольнике $A_2BC_2$ снова провели среднюю линию $A_3C_3$ и т. д. Найдите площадь треугольника $A_9BC_9$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна $768 \text{ см}^2$.

Решение:
По определению, средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Таким образом, в треугольнике $ABC$ точки $A_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Треугольник $A_1BC_1$, образованный средней линией, подобен исходному треугольнику $ABC$. Угол $\angle B$ у них общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $BA_1 = \frac{1}{2}BA$ и $BC_1 = \frac{1}{2}BC$. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно: $\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Это означает, что площадь треугольника $A_1BC_1$ в 4 раза меньше площади треугольника $ABC$: $S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.

Далее, в треугольнике $A_1BC_1$ проводится средняя линия $A_2C_2$, образуя треугольник $A_2BC_2$. По той же логике, его площадь будет в 4 раза меньше площади треугольника $A_1BC_1$: $S_{A_2BC_2} = \frac{1}{4} S_{A_1BC_1} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{4} S_{ABC}) = (\frac{1}{4})^2 S_{ABC}$.

Продолжая эту последовательность, мы можем вывести общую формулу для площади треугольника $A_nBC_n$: $S_{A_nBC_n} = (\frac{1}{4})^n S_{ABC}$.

Нам необходимо найти площадь треугольника $A_9BC_9$. Подставляем в формулу $n=9$ и заданную площадь $S_{ABC} = 768$ см²: $S_{A_9BC_9} = (\frac{1}{4})^9 \cdot 768$.

Для удобства вычислений представим числа как степени двойки. $4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$. Разложим число 768 на простые множители: $768 = 3 \cdot 256 = 3 \cdot 2^8$.

Теперь подставим эти значения в нашу формулу: $S_{A_9BC_9} = \frac{3 \cdot 2^8}{4^9} = \frac{3 \cdot 2^8}{2^{18}} = \frac{3}{2^{18-8}} = \frac{3}{2^{10}}$.

Вычисляем знаменатель: $2^{10} = 1024$. Таким образом, площадь искомого треугольника равна: $S_{A_9BC_9} = \frac{3}{1024}$ см².

Ответ: $ \frac{3}{1024} $ см².

630. Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если: Рис. 79

а) $b_6 = 3, q = 3;$

б) $b_5 = 17\frac{1}{2}, q = -2\frac{1}{2}.$

Для нахождения первого члена $b_1$ геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Из этой формулы можно выразить первый член $b_1$:

$b_1 = \frac{b_n}{q^{n-1}}$

а) Даны шестой член прогрессии $b_6 = 3$ и знаменатель $q = 3$.

Чтобы найти первый член, используем формулу для $n=6$:

$b_1 = \frac{b_6}{q^{6-1}} = \frac{b_6}{q^5}$

Подставим известные значения в формулу:

$b_1 = \frac{3}{3^5}$

Вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Тогда:

$b_1 = \frac{3}{243}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$b_1 = \frac{1}{81}$

Ответ: $b_1 = \frac{1}{81}$.

б) Даны пятый член прогрессии $b_5 = 17\frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -2\frac{1}{2}$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$b_5 = 17\frac{1}{2} = \frac{17 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{35}{2}$

$q = -2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$

Чтобы найти первый член, используем формулу для $n=5$:

$b_1 = \frac{b_5}{q^{5-1}} = \frac{b_5}{q^4}$

Подставим значения в формулу:

$b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{(-\frac{5}{2})^4}$

Сначала вычислим знаменатель $q^4$:

$(-\frac{5}{2})^4 = (\frac{5}{2})^4 = \frac{5^4}{2^4} = \frac{625}{16}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b_1$:

$b_1 = \frac{\frac{35}{2}}{\frac{625}{16}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$b_1 = \frac{35}{2} \cdot \frac{16}{625}$

Сократим выражение:

$b_1 = \frac{35 \cdot 16}{2 \cdot 625} = \frac{35 \cdot 8}{625} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 8}{5 \cdot 125} = \frac{7 \cdot 8}{125} = \frac{56}{125}$

Ответ: $b_1 = \frac{56}{125}$.

631. Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($c_n$), если:

a) $c_5 = -6$, $c_7 = -54;$

б) $c_6 = 25$, $c_8 = 4.$

а)

Для нахождения знаменателя $q$ геометрической прогрессии $(c_n)$ используется формула, связывающая любые два ее члена $c_m$ и $c_k$: $c_m = c_k \cdot q^{m-k}$.

По условию задачи имеем $c_5 = -6$ и $c_7 = -54$. Применим формулу для $m=7$ и $k=5$:

$c_7 = c_5 \cdot q^{7-5}$

Подставим известные значения:

$-54 = -6 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{-54}{-6}$

$q^2 = 9$

Из этого уравнения находим возможные значения для $q$:

$q_1 = \sqrt{9} = 3$

$q_2 = -\sqrt{9} = -3$

Таким образом, знаменатель прогрессии может быть равен $3$ или $-3$.

Ответ: $3$ или $-3$.

б)

Действуем аналогично, используя ту же формулу $c_m = c_k \cdot q^{m-k}$.

По условию дано $c_6 = 25$ и $c_8 = 4$. В этом случае $m=8$ и $k=6$:

$c_8 = c_6 \cdot q^{8-6}$

Подставляем значения:

$4 = 25 \cdot q^2$

Выражаем $q^2$:

$q^2 = \frac{4}{25}$

Находим возможные значения для $q$, извлекая квадратный корень:

$q_1 = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}$

$q_2 = -\sqrt{\frac{4}{25}} = -\frac{2}{5}$

Знаменатель прогрессии может быть равен $\frac{2}{5}$ или $-\frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$ или $-\frac{2}{5}$.

632. Последовательность $ (x_n) $ — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_1$, если $x_6 = 0,32$, $q = 0,2$;

б) $q$, если $x_3 = -162$, $x_5 = -18$.

а) По условию задачи, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
Нам даны шестой член прогрессии $x_6 = 0,32$ и знаменатель $q = 0,2$. Требуется найти первый член $x_1$.
Подставим известные значения в формулу для n=6:
$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5$
$0,32 = x_1 \cdot (0,2)^5$
Чтобы найти $x_1$, разделим обе части уравнения на $(0,2)^5$:
$x_1 = \frac{0,32}{(0,2)^5}$
Вычислим значение знаменателя:
$(0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$
Теперь найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{0,32}{0,00032} = \frac{32000}{32} = 1000$
Ответ: $1000$.

б) В этом пункте нам известны третий и пятый члены прогрессии: $x_3 = -162$ и $x_5 = -18$. Нам необходимо найти знаменатель прогрессии $q$.
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии, связывающим любые два её члена: $x_n = x_m \cdot q^{n-m}$.
Применим эту формулу для $n=5$ и $m=3$:
$x_5 = x_3 \cdot q^{5-3}$
$x_5 = x_3 \cdot q^2$
Подставим известные значения в это уравнение:
$-18 = -162 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{-18}{-162} = \frac{18}{162}$
Сократим полученную дробь. Заметим, что $162 = 18 \cdot 9$.
$q^2 = \frac{18}{18 \cdot 9} = \frac{1}{9}$
Теперь найдем $q$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два решения:
$q_1 = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$
$q_2 = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$
Оба значения являются возможными знаменателями данной геометрической прогрессии.
Ответ: $\frac{1}{3}$ или $-\frac{1}{3}$.

633. Последовательность ($b_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $b_6$, если $b_1 = 125$, $b_3 = 5$;

б) $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}$, $b_3 = -2$;

в) $b_1$, если $b_4 = -1$, $b_6 = -100$.

а) $b_6$, если $b_1 = 125, b_3 = 5$;

Формула n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для третьего члена прогрессии $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим заданные значения $b_1 = 125$ и $b_3 = 5$ в формулу:

$5 = 125 \cdot q^2$

Отсюда найдем квадрат знаменателя $q^2$:

$q^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$

Это означает, что знаменатель $q$ может иметь два возможных значения:

$q = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$.

Теперь найдем шестой член прогрессии $b_6$, используя формулу $b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$. Рассмотрим оба случая для $q$.

1. Если $q = \frac{1}{5}$:

$b_6 = 125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^5 = 5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

2. Если $q = -\frac{1}{5}$:

$b_6 = 125 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^5 = 5^3 \cdot \left(-\frac{1}{5^5}\right) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: $b_6 = \frac{1}{25}$ или $b_6 = -\frac{1}{25}$.

б) $b_7$, если $b_1 = -\frac{2}{9}, b_3 = -2$;

Как и в предыдущем пункте, начнем с нахождения знаменателя прогрессии $q$.

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_1 = -\frac{2}{9}$ и $b_3 = -2$:

$-2 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot q^2$

Найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = -2 \cdot \left(-\frac{9}{2}\right) = 9$

Теперь необходимо найти седьмой член прогрессии $b_7$. Формула для $b_7$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

Мы можем выразить $q^6$ через $q^2$, которое мы уже нашли: $q^6 = (q^2)^3$. Это позволяет найти $b_7$, не находя $q$ явным образом.

Подставим значения в формулу для $b_7$:

$b_7 = \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot (9)^3 = -\frac{2}{9} \cdot 729 = -2 \cdot \frac{729}{9} = -2 \cdot 81 = -162$.

Поскольку $q^6 = (\pm 3)^6 = 729$, значение $b_7$ является однозначным.

Ответ: $b_7 = -162$.

в) $b_1$, если $b_4 = -1, b_6 = -100$.

Связь между двумя произвольными членами геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$ задается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

Применим эту формулу для $b_6$ и $b_4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_4 = -1$ и $b_6 = -100$:

$-100 = (-1) \cdot q^2$

$q^2 = 100$

Следовательно, знаменатель $q$ может быть равен $10$ или $-10$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Используем формулу, связывающую $b_4$ и $b_1$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Выразим отсюда $b_1$:

$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$

Рассмотрим оба возможных значения $q$.

1. Если $q = 10$:

$b_1 = \frac{-1}{10^3} = \frac{-1}{1000} = -0.001$.

2. Если $q = -10$:

$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0.001$.

В этом случае задача также имеет два возможных решения.

Ответ: $b_1 = -\frac{1}{1000}$ или $b_1 = \frac{1}{1000}$.

634. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из пяти членов. По условию, её первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$. Три числа, которые необходимо вставить, будут вторым, третьим и четвертым членами этой прогрессии, то есть $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена прогрессии ($n=5$), чтобы найти знаменатель $q$.

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

Подставим известные значения $b_1 = 2$ и $b_5 = 162$:

$162 = 2 \cdot q^4$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $q^4$:

$q^4 = \frac{162}{2}$

$q^4 = 81$

Так как показатель степени (4) четный, данное уравнение имеет два действительных корня:

$q = \sqrt[4]{81} = 3$ и $q = -\sqrt[4]{81} = -3$.

Следовательно, задача имеет два решения, соответствующих двум возможным значениям знаменателя прогрессии.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = 3$.
Найдем три искомых числа, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$
В этом случае искомые числа: 6, 18, 54. Прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -3$.
Аналогично находим три искомых числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-3) = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54$
В этом случае искомые числа: -6, 18, -54. Прогрессия: 2, -6, 18, -54, 162.

Ответ: 6, 18, 54 или -6, 18, -54.

635. Геометрическая прогрессия $(x_n)$ состоит из четырёх членов: 2, $a$, $b$, $\frac{1}{4}$. Найдите $a$ и $b$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $(x_n)$, состоящая из четырех членов: $x_1 = 2$, $x_2 = a$, $x_3 = b$ и $x_4 = \frac{1}{4}$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Мы можем использовать известные первый и четвертый члены для нахождения знаменателя $q$. Для $n=4$ формула выглядит так:

$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$

Подставим в нее известные значения $x_1 = 2$ и $x_4 = \frac{1}{4}$:

$\frac{1}{4} = 2 \cdot q^3$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:

$q^3 = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8}$

$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Зная знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, мы можем вычислить значения $a$ и $b$.

Второй член прогрессии $a$ равен первому члену, умноженному на знаменатель:

$a = x_2 = x_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Третий член прогрессии $b$ равен второму члену, умноженному на знаменатель:

$b = x_3 = x_2 \cdot q = a \cdot q = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, искомая геометрическая прогрессия имеет вид: $2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$.

Ответ: $a = 1$, $b = \frac{1}{2}$.

636. Найдите шестой член геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что $b_2 = 6$, $b_4 = 24$.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и свойствами геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Также любой член прогрессии можно выразить через другой её член по формуле $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

Нам даны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$.

1. Найдем квадрат знаменателя прогрессии ($q^2$).

Используя формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ для $n=4$ и $m=2$, получим:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$24 = 6 \cdot q^2$

Теперь найдем $q^2$:

$q^2 = \frac{24}{6} = 4$

2. Найдем шестой член прогрессии ($b_6$).

Выразим искомый член $b_6$ через известный член $b_4$, используя ту же формулу для $n=6$ и $m=4$:

$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$

Мы знаем, что $b_4 = 24$ и $q^2 = 4$. Подставим эти значения:

$b_6 = 24 \cdot 4 = 96$

Ответ: 96.

637. Население города составляет 60 тысяч человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на $2\%$. Каким будет население города через 5 лет, если эта тенденция сохранится?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, поскольку ежегодный прирост населения рассчитывается от нового, увеличенного значения предыдущего года.

Формула для расчета конечной величины при ежегодном процентном росте:

$N = N_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^t$

где:
$N$ — конечное население,
$N_0$ — начальное население,
$p$ — годовой процент прироста,
$t$ — количество лет.

В нашей задаче даны следующие значения:
Начальное население $N_0 = 60 \text{ 000}$ человек.
Ежегодный прирост $p = 2\%$.
Период времени $t = 5$ лет.

Подставим эти значения в формулу. Коэффициент роста будет равен $1 + \frac{2}{100} = 1 + 0.02 = 1.02$.

$N = 60000 \cdot (1.02)^5$

Теперь вычислим значение $(1.02)^5$:
$(1.02)^5 \approx 1.1040808$

Умножим полученный коэффициент на начальное население:
$N = 60000 \cdot 1.1040808 \approx 66244.848$

Поскольку количество людей должно быть целым числом, округлим полученный результат до ближайшего целого.

$66244.848 \approx 66245$

Таким образом, через 5 лет население города составит примерно 66 245 человек.

Ответ: через 5 лет население города составит приблизительно 66 245 человек.