Страница 165 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

623. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_1 = 6, q = 2;$

б) $b_1 = -16, q = \frac{1}{2};$

в) $b_1 = -24, q = -1,5;$

г) $b_1 = 0,4, q = \sqrt{2}.$

Чтобы найти первые пять членов геометрической прогрессии ($b_n$), воспользуемся рекуррентной формулой $b_{n+1} = b_n \cdot q$, где $q$ — знаменатель прогрессии. Это означает, что каждый следующий член прогрессии равен предыдущему, умноженному на знаменатель.

а) Дано: $b_1 = 6, q = 2$.
Первый член прогрессии нам известен: $b_1 = 6$.
Вычислим последующие члены:
$b_2 = b_1 \cdot q = 6 \cdot 2 = 12$
$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot 2 = 24$
$b_4 = b_3 \cdot q = 24 \cdot 2 = 48$
$b_5 = b_4 \cdot q = 48 \cdot 2 = 96$
Первые пять членов прогрессии: 6, 12, 24, 48, 96.
Ответ: 6; 12; 24; 48; 96.

б) Дано: $b_1 = -16, q = \frac{1}{2}$.
Первый член: $b_1 = -16$.
Вычисляем остальные члены:
$b_2 = b_1 \cdot q = -16 \cdot \frac{1}{2} = -8$
$b_3 = b_2 \cdot q = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4$
$b_4 = b_3 \cdot q = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$
$b_5 = b_4 \cdot q = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$
Первые пять членов прогрессии: -16, -8, -4, -2, -1.
Ответ: -16; -8; -4; -2; -1.

в) Дано: $b_1 = -24, q = -1,5$.
Первый член: $b_1 = -24$.
Так как знаменатель отрицательный, знаки членов прогрессии будут чередоваться.
$b_2 = b_1 \cdot q = -24 \cdot (-1,5) = 36$
$b_3 = b_2 \cdot q = 36 \cdot (-1,5) = -54$
$b_4 = b_3 \cdot q = -54 \cdot (-1,5) = 81$
$b_5 = b_4 \cdot q = 81 \cdot (-1,5) = -121,5$
Первые пять членов прогрессии: -24, 36, -54, 81, -121,5.
Ответ: -24; 36; -54; 81; -121,5.

г) Дано: $b_1 = 0,4, q = \sqrt{2}$.
Первый член: $b_1 = 0,4$.
Вычисляем остальные члены:
$b_2 = b_1 \cdot q = 0,4 \cdot \sqrt{2} = 0,4\sqrt{2}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 0,4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 0,4 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0,4 \cdot 2 = 0,8$
$b_4 = b_3 \cdot q = 0,8 \cdot \sqrt{2} = 0,8\sqrt{2}$
$b_5 = b_4 \cdot q = 0,8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 0,8 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0,8 \cdot 2 = 1,6$
Первые пять членов прогрессии: 0,4; $0,4\sqrt{2}$; 0,8; $0,8\sqrt{2}$; 1,6.
Ответ: 0,4; $0,4\sqrt{2}$; 0,8; $0,8\sqrt{2}$; 1,6.

624. Последовательность ($c_n$) — геометрическая прогрессия, первый член которой равен $c_1$, а знаменатель равен $q$. Выразите через $c_1$ и $q$:

а) $c_6$;

б) $c_{20}$;

в) $c_{125}$;

г) $c_k$;

д) $c_{k+3}$;

е) $c_{2k}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия $(c_n)$ задается первым членом $c_1$ и знаменателем $q$. Любой член прогрессии с номером $n$ можно найти по формуле:
$c_n = c_1 \cdot q^{n-1}$
Применим эту формулу для каждого из заданных членов последовательности.

а) Для нахождения $c_6$ подставим в формулу $n=6$:
$c_6 = c_1 \cdot q^{6-1} = c_1 \cdot q^5$
Ответ: $c_6 = c_1 \cdot q^5$

б) Для нахождения $c_{20}$ подставим в формулу $n=20$:
$c_{20} = c_1 \cdot q^{20-1} = c_1 \cdot q^{19}$
Ответ: $c_{20} = c_1 \cdot q^{19}$

в) Для нахождения $c_{125}$ подставим в формулу $n=125$:
$c_{125} = c_1 \cdot q^{125-1} = c_1 \cdot q^{124}$
Ответ: $c_{125} = c_1 \cdot q^{124}$

г) Для нахождения $c_k$ подставим в формулу $n=k$:
$c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$
Ответ: $c_k = c_1 \cdot q^{k-1}$

д) Для нахождения $c_{k+3}$ подставим в формулу $n=k+3$:
$c_{k+3} = c_1 \cdot q^{(k+3)-1} = c_1 \cdot q^{k+2}$
Ответ: $c_{k+3} = c_1 \cdot q^{k+2}$

е) Для нахождения $c_{2k}$ подставим в формулу $n=2k$:
$c_{2k} = c_1 \cdot q^{2k-1}$
Ответ: $c_{2k} = c_1 \cdot q^{2k-1}$

625. Последовательность ($x_n$) — геометрическая прогрессия. Найдите:

а) $x_7$, если $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$;

б) $x_8$, если $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$;

в) $x_{10}$, если $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$;

г) $x_6$, если $x_1 = -125$, $q = 0,2$;

д) $x_5$, если $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$;

е) $x_4$, если $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии ($x_n$) используется формула $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$, где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

а) Дано: $x_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$. Требуется найти $x_7$.
Подставляем значения в формулу для $n=7$:
$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 16 \cdot \frac{1}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Дано: $x_1 = -810$, $q = \frac{1}{3}$. Требуется найти $x_8$.
Подставляем значения в формулу для $n=8$:
$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = -810 \cdot (\frac{1}{3})^7 = -810 \cdot \frac{1}{2187}$.
Так как $810 = 10 \cdot 81 = 10 \cdot 3^4$ и $2187 = 3^7$, то:
$x_8 = -\frac{10 \cdot 3^4}{3^7} = -\frac{10}{3^{7-4}} = -\frac{10}{3^3} = -\frac{10}{27}$.
Ответ: $-\frac{10}{27}$

в) Дано: $x_1 = \sqrt{2}$, $q = -\sqrt{2}$. Требуется найти $x_{10}$.
Подставляем значения в формулу для $n=10$:
$x_{10} = x_1 \cdot q^{10-1} = \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})^9$.
Поскольку степень 9 нечетная, знак минус сохраняется: $x_{10} = \sqrt{2} \cdot (-(\sqrt{2})^9) = -(\sqrt{2})^{1+9} = -(\sqrt{2})^{10}$.
Так как $(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$, получаем:
$x_{10} = -32$.
Ответ: $-32$

г) Дано: $x_1 = -125$, $q = 0,2$. Требуется найти $x_6$.
Представим знаменатель в виде обыкновенной дроби: $q = 0,2 = \frac{1}{5}$.
Подставляем значения в формулу для $n=6$:
$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = -125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = -5^3 \cdot \frac{1}{5^5} = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25}$.
В виде десятичной дроби это $-0,04$.
Ответ: $-0,04$

д) Дано: $x_1 = \frac{3}{4}$, $q = \frac{2}{3}$. Требуется найти $x_5$.
Подставляем значения в формулу для $n=5$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{2^4}{3^4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81}$.
Сокращаем дробь: $x_5 = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 81} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 27} = \frac{4}{27}$.
Ответ: $\frac{4}{27}$

е) Дано: $x_1 = 1,8$, $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Требуется найти $x_4$.
Представим первый член в виде обыкновенной дроби: $x_1 = 1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Подставляем значения в формулу для $n=4$:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = \frac{9}{5} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{9}{5} \cdot \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{9}{5} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{27}$.
Сокращаем дробь: $x_4 = \frac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{27\sqrt{3}}{5 \cdot 27} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$

626. Изобразите на координатной плоскости первые пять членов:

а) арифметической прогрессии 1,5; 2,5; 3,5; ...;

б) геометрической прогрессии 8; 4; 2; ... .

а) арифметической прогрессии 1,5; 2,5; 3,5; ...;

Чтобы изобразить члены прогрессии на координатной плоскости, мы принимаем номер члена ($n$) за координату по оси абсцисс (горизонтальной оси), а значение этого члена ($a_n$) — за координату по оси ординат (вертикальной оси). Таким образом, нам нужно найти координаты пяти точек вида $(n, a_n)$.

1. Определим параметры арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 1,5$.
Второй член $a_2 = 2,5$.
Разность прогрессии $d$ равна разнице между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = 2,5 - 1,5 = 1$.

2. Найдем первые пять членов прогрессии.
Мы можем найти каждый следующий член, прибавляя разность $d=1$ к предыдущему члену, либо используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_1 = 1,5$
$a_2 = 2,5$
$a_3 = a_2 + d = 2,5 + 1 = 3,5$
$a_4 = a_3 + d = 3,5 + 1 = 4,5$
$a_5 = a_4 + d = 4,5 + 1 = 5,5$

3. Сформируем координаты точек для изображения на плоскости.
Для $n=1$, точка имеет координаты $(1; 1,5)$.
Для $n=2$, точка имеет координаты $(2; 2,5)$.
Для $n=3$, точка имеет координаты $(3; 3,5)$.
Для $n=4$, точка имеет координаты $(4; 4,5)$.
Для $n=5$, точка имеет координаты $(5; 5,5)$.
Для построения графика необходимо отметить эти пять точек на координатной плоскости. Все они будут лежать на одной прямой.

Ответ: Для изображения на координатной плоскости нужно отметить точки с координатами: $(1; 1,5)$, $(2; 2,5)$, $(3; 3,5)$, $(4; 4,5)$, $(5; 5,5)$.

б) геометрической прогрессии 8; 4; 2; ... .

Аналогично пункту а), мы изобразим члены геометрической прогрессии как точки с координатами $(n, b_n)$, где $n$ — номер члена, а $b_n$ — его значение.

1. Определим параметры геометрической прогрессии.
Первый член прогрессии $b_1 = 8$.
Второй член $b_2 = 4$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{4}{8} = 0,5$.

2. Найдем первые пять членов прогрессии.
Мы можем найти каждый следующий член, умножая предыдущий на знаменатель $q=0,5$, либо используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
$b_1 = 8$
$b_2 = 4$
$b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 0,5 = 2$
$b_4 = b_3 \cdot q = 2 \cdot 0,5 = 1$
$b_5 = b_4 \cdot q = 1 \cdot 0,5 = 0,5$

3. Сформируем координаты точек для изображения на плоскости.
Для $n=1$, точка имеет координаты $(1; 8)$.
Для $n=2$, точка имеет координаты $(2; 4)$.
Для $n=3$, точка имеет координаты $(3; 2)$.
Для $n=4$, точка имеет координаты $(4; 1)$.
Для $n=5$, точка имеет координаты $(5; 0,5)$.
Для построения графика необходимо отметить эти пять точек на координатной плоскости. Они будут лежать на экспоненциальной кривой.

Ответ: Для изображения на координатной плоскости нужно отметить точки с координатами: $(1; 8)$, $(2; 4)$, $(3; 2)$, $(4; 1)$, $(5; 0,5)$.