Страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

650. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

а) $c_1 = -4, q = 3;$

б) $c_1 = 1, q = -2;$

в) $c_1 = -2, q = 2;$

г) $c_1 = 32, q = -0,5.$

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых девяти членов, то есть $n=9$.

а) Дано: $c_1 = -4$, $q = 3$.

Подставляем значения в формулу суммы для $n=9$:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{-4(3^9 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^9$:

$3^9 = 19683$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_9 = \frac{-4(19683 - 1)}{2} = \frac{-4 \cdot 19682}{2} = -2 \cdot 19682 = -39364$

Ответ: -39364

б) Дано: $c_1 = 1$, $q = -2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot ((-2)^9 - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим $(-2)^9$:

$(-2)^9 = -512$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{-512 - 1}{-3} = \frac{-513}{-3} = 171$

Ответ: 171

в) Дано: $c_1 = -2$, $q = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{-2(2^9 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^9$:

$2^9 = 512$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{-2(512 - 1)}{1} = -2 \cdot 511 = -1022$

Ответ: -1022

г) Дано: $c_1 = 32$, $q = -0,5$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{32((-0,5)^9 - 1)}{-0,5 - 1}$

Вычислим $(-0,5)^9$. Удобнее работать с обыкновенными дробями: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{32(-\frac{1}{512} - 1)}{-1,5} = \frac{32(-\frac{1}{512} - \frac{512}{512})}{-1,5} = \frac{32(-\frac{513}{512})}{-1,5}$

Упростим числитель:

$32 \cdot (-\frac{513}{512}) = -\frac{32 \cdot 513}{512} = -\frac{513}{16}$

Знаменатель равен $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$S_9 = \frac{-513/16}{-3/2} = \frac{513}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{513 \cdot 2}{16 \cdot 3} = \frac{513}{8 \cdot 3} = \frac{171}{8}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$S_9 = 171 : 8 = 21,375$

Ответ: 21,375

651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность ($b_n$) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых $n$ её членов, если:

а) $b_n = 0,2 \cdot 5^n$;
б) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$;
в) $b_n = 3^{1+n}$;
г) $b_n = 2^n + 2$.

1) Обсудите ход доказательства.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для доказательства того, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что для любого натурального $n$ отношение её $(n+1)$-го члена к $n$-му члену есть постоянная величина, не равная нулю. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = const$
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $(S_n)$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - её знаменатель.

а) $b_n = 0,2 \cdot 5^n$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 0,2 \cdot 5^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{0,2 \cdot 5^{n+1}}{0,2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5^1 = 5$.
Так как отношение $q=5$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 1$.
Знаменатель $q=5$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Знаменатель $q=2$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = 3(2^n - 1)$.

в) $b_n = 3^{1+n}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3^{1+(n+1)} = 3^{n+2}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{3^{n+2}}{3^{1+n}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1 = 3$.
Так как отношение $q=3$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.
Знаменатель $q=3$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2}$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = \frac{9(3^n - 1)}{2}$.

г) $b_n = 2^{n+2}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+3}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2^{(n+3)-(n+2)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Знаменатель $q=2$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{8 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 8(2^n - 1)$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = 8(2^n - 1)$.

652. Найдите сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии:

а) $1; 3; 3^2; \dots;$

б) $2; 2^2; 2^3; \dots;$

в) $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots;$

г) $1; -x; x^2; \dots;$, где $x \neq -1;$

д) $1; x^2; x^4; \dots;$, где $x \neq \pm 1;$

е) $1; -x^3; x^6; \dots;$, где $x \neq -1.$

а) Для геометрической прогрессии $1; 3; 3^2; ...$ первый член $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{3}{1} = 3$. Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставим в формулу значения $b_1$ и $q$: $S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$.
Ответ: $S_n = \frac{3^n - 1}{2}$.

б) Для геометрической прогрессии $2; 2^2; 2^3; ...$ первый член $b_1 = 2$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{2^2}{2} = 2$. Подставим эти значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{1} = 2(2^n - 1)$.
Ответ: $S_n = 2(2^n - 1)$.

в) Для геометрической прогрессии $\frac{1}{2}; -\frac{1}{4}; \frac{1}{8}; ...$ первый член $b_1 = \frac{1}{2}$, а знаменатель $q = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$ (эта форма удобнее, когда $|q|<1$): $S_n = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{2})^n)$.
Ответ: $S_n = \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{2})^n)$.

г) Для геометрической прогрессии $1; -x; x^2; ...$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x}{1} = -x$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что знаменатель $q \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-x)^n - 1)}{-x - 1} = \frac{(-x)^n - 1}{-(x + 1)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}$.

д) Для геометрической прогрессии $1; x^2; x^4; ...$ (где $x \neq \pm 1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{x^2}{1} = x^2$. Условие $x \neq \pm 1$ гарантирует, что $q = x^2 \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.
Ответ: $S_n = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}$.

е) Для геометрической прогрессии $1; -x^3; x^6; ...$ (где $x \neq -1$) первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$. Условие $x \neq -1$ гарантирует, что $q = -x^3 \neq 1$. Подставим значения в формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$: $S_n = \frac{1 \cdot ((-x^3)^n - 1)}{-x^3 - 1} = \frac{(-x^3)^n - 1}{-(x^3 + 1)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.
Ответ: $S_n = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}$.

653. Найдите сумму первых семи членов геометрической про-

грессии ($b_n$), если:

a) $b_7 = 72,9, q = 1,5;$

б) $b_5 = \frac{16}{9}, q = \frac{2}{3};$

в) $b_3 = 64, q = -\frac{1}{2};$

г) $b_4 = 81, q = -\frac{1}{3}.$

а) Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$) воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам дано $b_7 = 72,9$ и $q = 1,5$. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=7$ имеем $b_7 = b_1 \cdot q^6$.
Отсюда $b_1 = \frac{b_7}{q^6}$.
Подставим известные значения: $q = 1,5 = \frac{3}{2}$.
$q^6 = (\frac{3}{2})^6 = \frac{729}{64}$.
$b_1 = \frac{72,9}{729/64} = \frac{729/10}{729/64} = \frac{729}{10} \cdot \frac{64}{729} = \frac{64}{10} = 6,4$.
Теперь вычислим сумму $S_7$:
$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$.
$q^7 = q^6 \cdot q = \frac{729}{64} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2187}{128}$.
$S_7 = \frac{6,4 \cdot ((\frac{2187}{128}) - 1)}{1,5 - 1} = \frac{6,4 \cdot (\frac{2187 - 128}{128})}{0,5} = \frac{6,4 \cdot \frac{2059}{128}}{0,5} = \frac{\frac{64}{10} \cdot \frac{2059}{128}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2059}{2} \cdot 2 = \frac{2059}{10} = 205,9$.
Ответ: $205,9$.

б) Дано $b_5 = \frac{16}{9}$ и $q = \frac{2}{3}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_5 = b_1 \cdot q^4$:
$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{16/9}{(2/3)^4} = \frac{16/9}{16/81} = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = 9$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{9 \cdot ((\frac{2}{3})^7 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{9 \cdot (\frac{128}{2187} - 1)}{-\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot (\frac{128 - 2187}{2187})}{-\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot (-\frac{2059}{2187})}{-\frac{1}{3}}$.
$S_7 = 9 \cdot \frac{2059}{2187} \cdot 3 = 27 \cdot \frac{2059}{2187} = \frac{2059}{81}$.
Ответ: $\frac{2059}{81}$.

в) Дано $b_3 = 64$ и $q = \frac{1}{2}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_3 = b_1 \cdot q^2$:
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{64}{(1/2)^2} = \frac{64}{1/4} = 64 \cdot 4 = 256$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{256 \cdot ((\frac{1}{2})^7 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{256 \cdot (\frac{1}{128} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{256 \cdot (\frac{1 - 128}{128})}{-\frac{1}{2}} = \frac{256 \cdot (-\frac{127}{128})}{-\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{2 \cdot (-127)}{-1/2} = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508$.
Ответ: $508$.

г) Дано $b_4 = 81$ и $q = -\frac{1}{3}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$:
$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{81}{(-1/3)^3} = \frac{81}{-1/27} = -81 \cdot 27 = -2187$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{-2187 \cdot ((-\frac{1}{3})^7 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{-2187 \cdot (-\frac{1}{2187} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187 \cdot (\frac{-1 - 2187}{2187})}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187 \cdot (-\frac{2188}{2187})}{-\frac{4}{3}}$.
$S_7 = \frac{2188}{-\frac{4}{3}} = -2188 \cdot \frac{3}{4} = -547 \cdot 3 = -1641$.
Ответ: $-1641$.

654. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $(x_n)$, если:

а) $x_5 = 1\frac{1}{9}$, $q = \frac{1}{3}$;

б) $x_4 = 121.5$, $q = -3$.

а)

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ($S_5$), необходимо знать её первый член ($x_1$) и знаменатель ($q$). Знаменатель $q$ нам дан, а первый член $x_1$ мы найдем из формулы n-го члена геометрической прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$.

Дано: пятый член прогрессии $x_5 = 1\frac{1}{9}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.
Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $x_5 = 1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$.

Теперь подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n=5$:
$x_5 = x_1 \cdot q^{5-1} = x_1 \cdot q^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4$
$\frac{10}{9} = x_1 \cdot \frac{1}{81}$

Выразим и найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{10}{9} \div \frac{1}{81} = \frac{10}{9} \cdot 81 = 10 \cdot 9 = 90$.

Теперь, когда мы знаем $x_1 = 90$ и $q = \frac{1}{3}$, мы можем найти сумму первых пяти членов по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{90\left(\left(\frac{1}{3}\right)^5 - 1\right)}{\frac{1}{3} - 1}$
$S_5 = \frac{90\left(\frac{1}{243} - 1\right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{90\left(\frac{1-243}{243}\right)}{-\frac{2}{3}} = \frac{90\left(-\frac{242}{243}\right)}{-\frac{2}{3}}$
Так как в числителе и знаменателе есть знак минус, они сокращаются:
$S_5 = \frac{90 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = 90 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{90 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2}$
Сократим дробь:
$S_5 = \frac{45 \cdot 242}{81} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 242}{9 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 242}{9} = \frac{1210}{9}$
Переведем неправильную дробь в смешанную:
$S_5 = 134\frac{4}{9}$.

Ответ: $134\frac{4}{9}$.

б)

Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Сначала находим $x_1$, затем $S_5$.

Дано: четвертый член прогрессии $x_4 = 121,5$ и знаменатель $q = -3$.
Подставим известные значения в формулу для n-го члена при $n=4$:
$x_4 = x_1 \cdot q^{4-1} = x_1 \cdot q^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-3)^3$
$121,5 = x_1 \cdot (-27)$

Выразим и найдем $x_1$:
$x_1 = \frac{121,5}{-27} = -4,5$.

Теперь, зная $x_1 = -4,5$ и $q = -3$, найдем сумму первых пяти членов по формуле $S_n = \frac{x_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_5 = \frac{-4,5((-3)^5 - 1)}{-3 - 1}$
$S_5 = \frac{-4,5(-243 - 1)}{-4} = \frac{-4,5(-244)}{-4}$
$S_5 = \frac{1107}{-4} = -276,75$.
Проверим вычисления:
$(-4,5) \cdot (-244) = 4,5 \cdot 244 = (4 + 0,5) \cdot 244 = 4 \cdot 244 + 0,5 \cdot 244 = 976 + 122 = 1098$.
Тогда $S_5 = \frac{1098}{-4} = -274,5$.
Давайте пересчитаем $S_5$ другим способом для надежности:
$S_5 = -\frac{4,5 \cdot 244}{4} = -4,5 \cdot \frac{244}{4} = -4,5 \cdot 61$.
$4,5 \cdot 61 = 4,5 \cdot (60+1) = 4,5 \cdot 60 + 4,5 \cdot 1 = 270 + 4,5 = 274,5$.
Следовательно, $S_5 = -274,5$.

Ответ: $-274,5$.

655. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен $2$, а пятый равен $162$, если известно, что её члены с нечётными номерами положительны, а с чётными отрицательны.

Пусть $b_n$ — данная геометрическая прогрессия. По условию, её первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$.

Также известно, что члены с нечётными номерами положительны ($b_1 > 0, b_3 > 0, ...$), а с чётными — отрицательны ($b_2 < 0, b_4 < 0, ...$). Это означает, что знаки членов прогрессии чередуются. Такое возможно только в том случае, если знаменатель геометрической прогрессии $q$ является отрицательным числом ($q < 0$).

Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставим известные значения для пятого члена: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$162 = 2 \cdot q^4$
Разделим обе части уравнения на 2: $q^4 = 81$
Это уравнение имеет два действительных корня: $q = 3$ и $q = -3$. Так как мы установили, что знаменатель прогрессии должен быть отрицательным, выбираем $q = -3$.

Теперь необходимо найти сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$). Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Подставим в неё наши значения: $b_1 = 2$, $q = -3$ и $n = 6$. $S_6 = \frac{2 \cdot ((-3)^6 - 1)}{-3 - 1}$
Сначала вычислим $(-3)^6$: $(-3)^6 = 729$
Теперь подставим это значение обратно в формулу суммы: $S_6 = \frac{2 \cdot (729 - 1)}{-4}$
$S_6 = \frac{2 \cdot 728}{-4}$
$S_6 = \frac{1456}{-4}$
$S_6 = -364$

Ответ: -364

656. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($ (b_n) $), в которой $ b_2 = 6 $ и $ b_4 = 54 $, если известно, что все её члены положительны.

Для того чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$), необходимо знать её первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

По условию задачи известны второй и четвертый члены прогрессии: $b_2 = 6$ и $b_4 = 54$.

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии определяется формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$, выразив $b_4$ через $b_2$:

$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$54 = 6 \cdot q^2$

Разделим обе части уравнения на 6:

$q^2 = \frac{54}{6}$

$q^2 = 9$

Это уравнение имеет два корня: $q = 3$ и $q = -3$.

В условии сказано, что все члены прогрессии положительны. Если бы знаменатель был $q = -3$, то знаки членов прогрессии чередовались бы (например, $b_2 = 6$, а $b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$), что противоречит условию. Следовательно, знаменатель прогрессии равен 3.

$q = 3$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, зная $b_2$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$6 = b_1 \cdot 3$

$b_1 = \frac{6}{3} = 2$

Теперь у нас есть все данные для вычисления суммы первых семи членов прогрессии: $b_1 = 2$, $q = 3$, $n = 7$. Подставим эти значения в формулу суммы:

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{3 - 1}$

$S_7 = \frac{2(3^7 - 1)}{2}$

$S_7 = 3^7 - 1$

Вычислим $3^7$:

$3^7 = 2187$

Теперь найдем сумму:

$S_7 = 2187 - 1 = 2186$

Ответ: 2186.

657. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна $b_1 + b_2 = 8$, а сумма третьего и четвёртого членов равна $b_3 + b_4 = 72$. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме $S_n = 242$?

Найдем знаменатель и первый член прогрессии

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, все члены прогрессии положительны, что означает $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма первых двух членов равна 8:
$b_1 + b_2 = 8$
Используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем:
$b_1 + b_1q = 8$
$b_1(1+q) = 8$ (1)

Сумма третьего и четвёртого членов равна 72:
$b_3 + b_4 = 72$
$b_1q^2 + b_1q^3 = 72$
$b_1q^2(1+q) = 72$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)} = \frac{72}{8}$
$q^2 = 9$
Отсюда $q = 3$ или $q = -3$.
Так как по условию все члены прогрессии положительны, знаменатель $q$ должен быть положительным. Если бы $q$ был отрицательным, знаки членов прогрессии чередовались бы. Следовательно, мы выбираем $q = 3$.

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q=3$ в первое уравнение:
$b_1(1+3) = 8$
$4b_1 = 8$
$b_1 = 2$

Найдем количество членов прогрессии, сумма которых равна 242

Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
По условию $S_n = 242$. Подставим известные значения $b_1 = 2$ и $q = 3$:
$242 = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1}$
$242 = \frac{2(3^n - 1)}{2}$
$242 = 3^n - 1$
$243 = 3^n$
Чтобы найти $n$, определим, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 243.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
Следовательно, $n = 5$.

Ответ: Чтобы получить в сумме 242, надо сложить 5 членов этой прогрессии.