Номер 650, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

650. Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:

а) $c_1 = -4, q = 3;$

б) $c_1 = 1, q = -2;$

в) $c_1 = -2, q = 2;$

г) $c_1 = 32, q = -0,5.$

Для вычисления суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{c_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых девяти членов, то есть $n=9$.

а) Дано: $c_1 = -4$, $q = 3$.

Подставляем значения в формулу суммы для $n=9$:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{-4(3^9 - 1)}{3 - 1}$

Сначала вычислим $3^9$:

$3^9 = 19683$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_9 = \frac{-4(19683 - 1)}{2} = \frac{-4 \cdot 19682}{2} = -2 \cdot 19682 = -39364$

Ответ: -39364

б) Дано: $c_1 = 1$, $q = -2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot ((-2)^9 - 1)}{-2 - 1}$

Вычислим $(-2)^9$:

$(-2)^9 = -512$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{-512 - 1}{-3} = \frac{-513}{-3} = 171$

Ответ: 171

в) Дано: $c_1 = -2$, $q = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{-2(2^9 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^9$:

$2^9 = 512$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{-2(512 - 1)}{1} = -2 \cdot 511 = -1022$

Ответ: -1022

г) Дано: $c_1 = 32$, $q = -0,5$.

Подставляем значения в формулу:

$S_9 = \frac{c_1(q^9 - 1)}{q - 1} = \frac{32((-0,5)^9 - 1)}{-0,5 - 1}$

Вычислим $(-0,5)^9$. Удобнее работать с обыкновенными дробями: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

$(-\frac{1}{2})^9 = -\frac{1^9}{2^9} = -\frac{1}{512}$

Подставляем в формулу:

$S_9 = \frac{32(-\frac{1}{512} - 1)}{-1,5} = \frac{32(-\frac{1}{512} - \frac{512}{512})}{-1,5} = \frac{32(-\frac{513}{512})}{-1,5}$

Упростим числитель:

$32 \cdot (-\frac{513}{512}) = -\frac{32 \cdot 513}{512} = -\frac{513}{16}$

Знаменатель равен $-1,5 = -\frac{3}{2}$.

$S_9 = \frac{-513/16}{-3/2} = \frac{513}{16} \cdot \frac{2}{3} = \frac{513 \cdot 2}{16 \cdot 3} = \frac{513}{8 \cdot 3} = \frac{171}{8}$

Преобразуем дробь в десятичную:

$S_9 = 171 : 8 = 21,375$

Ответ: 21,375