Номер 643, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

643. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно первому условию, сумма этих чисел равна 21:
$(a-d) + a + (a+d) = 21$
$3a = 21$
$a = 7$

Таким образом, три числа арифметической прогрессии можно записать как: $7-d$, $7$, $7+d$.

Согласно второму условию, если второе число уменьшить на 1 (получим $7-1=6$), а третье увеличить на 1 (получим $(7+d)+1 = 8+d$), то новые числа образуют геометрическую прогрессию. Эта новая последовательность имеет вид: $7-d$, $6$, $8+d$.

Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его крайних членов. Применим это свойство к нашей новой последовательности:
$6^2 = (7-d)(8+d)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$36 = 56 + 7d - 8d - d^2$
$36 = 56 - d - d^2$
$d^2 + d - 20 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-20$. Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 4$ и $d_2 = -5$.

Найдем два возможных набора исходных чисел, подставив найденные значения $d$.

При $d=4$ исходные числа арифметической прогрессии равны:
$a_1 = 7-4 = 3$,
$a_2 = 7$,
$a_3 = 7+4 = 11$.
Получаем набор чисел 3, 7, 11.

При $d=-5$ исходные числа арифметической прогрессии равны:
$a_1 = 7-(-5) = 12$,
$a_2 = 7$,
$a_3 = 7+(-5) = 2$.
Получаем набор чисел 12, 7, 2.

Проведем проверку для обоих наборов.
Для набора 3, 7, 11: сумма $3+7+11=21$. Новые числа $3, (7-1), (11+1)$, то есть $3, 6, 12$, образуют геометрическую прогрессию ($6^2 = 3 \cdot 12$).
Для набора 12, 7, 2: сумма $12+7+2=21$. Новые числа $12, (7-1), (2+1)$, то есть $12, 6, 3$, образуют геометрическую прогрессию ($6^2 = 12 \cdot 3$).
Оба набора являются решениями.

Ответ: 3, 7, 11 или 12, 7, 2.