Номер 641, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

641. Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию

Пусть $a_n$ — длина стороны $n$-го равностороннего треугольника, а $P_n$ — его периметр. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 8$ см.

Высота $h_n$ равностороннего треугольника со стороной $a_n$ вычисляется по формуле $h_n = a_n \cdot \sin(60^\circ) = a_n \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи, сторона следующего, $(n+1)$-го, треугольника $a_{n+1}$ равна высоте предыдущего, $n$-го, треугольника $h_n$. Таким образом, мы можем записать соотношение между сторонами двух последовательных треугольников: $$ a_{n+1} = h_n = a_n \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Периметр $n$-го треугольника равен $P_n = 3a_n$. Рассмотрим отношение периметра $(n+1)$-го треугольника к периметру $n$-го треугольника: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{3a_{n+1}}{3a_n} = \frac{a_{n+1}}{a_n} $$ Подставив найденное ранее соотношение для сторон, получим: $$ \frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{a_n \frac{\sqrt{3}}{2}}{a_n} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Поскольку отношение любого члена последовательности периметров к предыдущему является постоянной величиной, равной $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Доказано, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

и найдите периметр шестого треугольника

Для нахождения периметра шестого треугольника $P_6$ воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $P_n = P_1 \cdot q^{n-1}$.

Первый член прогрессии $P_1$ — это периметр исходного треугольника: $$ P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 8 = 24 \text{ см} $$

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, равен $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим периметр шестого треугольника, подставив в формулу $n=6$: $$ P_6 = P_1 \cdot q^{6-1} = P_1 \cdot q^5 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 $$

Вычислим значение $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5$: $$ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 = \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{32} $$

Подставим это значение в формулу для $P_6$ и произведем вычисления: $$ P_6 = 24 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} $$ Сократим дробь на 8: $$ P_6 = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \text{ см} $$

Ответ: $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ см.