Номер 642, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 642, страница 167.

642. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Пусть дан равносторонний треугольник $T_n$ со стороной $a_n$. Его периметр равен $P_n = 3a_n$.
Следующий треугольник, $T_{n+1}$, вписан в $T_n$, и его вершины являются серединами сторон треугольника $T_n$. Каждая сторона треугольника $T_{n+1}$ является средней линией для треугольника $T_n$.
По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, длина стороны треугольника $T_{n+1}$ равна $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$.
Поскольку все стороны треугольника $T_n$ равны, все три средние линии, образующие треугольник $T_{n+1}$, также равны между собой. Это означает, что треугольник $T_{n+1}$ тоже является равносторонним.
Теперь найдем отношение периметров двух последовательных треугольников, $P_{n+1}$ и $P_n$:
$P_{n+1} = 3a_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}a_n\right) = \frac{1}{2} \cdot (3a_n) = \frac{1}{2}P_n$.
Отсюда отношение $\frac{P_{n+1}}{P_n} = \frac{1}{2}$.
Так как отношение каждого следующего члена последовательности периметров к предыдущему является постоянным числом $q = \frac{1}{2}$, то эта последовательность по определению является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.
Ответ: Последовательность периметров треугольников является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Найдите периметр восьмого треугольника.
Сначала определим периметр первого треугольника, $P_1$. По условию, сторона первого треугольника $a_1 = 16$ см.
$P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 16 = 48$ см.
Мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $P_1 = 48$ см и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно найти периметр восьмого треугольника, то есть $P_8$. Подставляем $n=8$:
$P_8 = P_1 \cdot q^{8-1} = P_1 \cdot q^7$
$P_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 48 и 128 равен 16:
$P_8 = \frac{48 \div 16}{128 \div 16} = \frac{3}{8}$ см.
Ответ: $\frac{3}{8}$ см.