Номер 648, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

648. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

а) $b_1 = 8, q = \frac{1}{2}$;

б) $b_1 = 500, q = \frac{1}{5}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а) Дано: $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

Выполним умножение в числителе:

$8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{8 \cdot 31}{32} = \frac{31}{4}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{31 \cdot 2}{4} = \frac{62}{4} = \frac{31}{2} = 15.5$

Ответ: $S_5 = \frac{31}{2}$

б) Дано: $b_1 = 500$, $q = \frac{1}{5}$.

Подставим значения в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{5})^5 = \frac{1^5}{5^5} = \frac{1}{3125}$

Подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - \frac{1}{3125})}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot (\frac{3125}{3125} - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Выполним умножение в числителе, сократив 500 и 3125:

$500 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{500 \cdot 3124}{3125} = \frac{4 \cdot 125 \cdot 3124}{25 \cdot 125} = \frac{4 \cdot 3124}{25}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{4 \cdot 3124}{25}}{\frac{4}{5}} = \frac{4 \cdot 3124}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 3124 \cdot 5}{25 \cdot 4}$

Сократим дроби:

$S_5 = \frac{3124 \cdot 5}{25} = \frac{3124}{5} = 624.8$

Ответ: $S_5 = \frac{3124}{5}$