Номер 651, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность ($b_n$) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых $n$ её членов, если:

а) $b_n = 0,2 \cdot 5^n$;
б) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$;
в) $b_n = 3^{1+n}$;
г) $b_n = 2^n + 2$.

1) Обсудите ход доказательства.

2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены задания, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для доказательства того, что последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, необходимо показать, что для любого натурального $n$ отношение её $(n+1)$-го члена к $n$-му члену есть постоянная величина, не равная нулю. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = const$
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $(S_n)$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - её знаменатель.

а) $b_n = 0,2 \cdot 5^n$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 0,2 \cdot 5^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{0,2 \cdot 5^{n+1}}{0,2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5^1 = 5$.
Так как отношение $q=5$ является постоянной величиной (не зависит от $n$), данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в формулу:
$b_1 = 0,2 \cdot 5^1 = 1$.
Знаменатель $q=5$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = \frac{5^n - 1}{4}$.

б) $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3 \cdot 2^{(n+1)-1} = 3 \cdot 2^n$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 1 = 3$.
Знаменатель $q=2$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{3 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = 3(2^n - 1)$.

в) $b_n = 3^{1+n}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 3^{1+(n+1)} = 3^{n+2}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{3^{n+2}}{3^{1+n}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3^1 = 3$.
Так как отношение $q=3$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 3^{1+1} = 3^2 = 9$.
Знаменатель $q=3$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{9 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2}$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = \frac{9(3^n - 1)}{2}$.

г) $b_n = 2^{n+2}$
1. Доказательство:
Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $b_{n+1} = 2^{(n+1)+2} = 2^{n+3}$.
Найдем отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$:
$q = \frac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2^{(n+3)-(n+2)} = 2^1 = 2$.
Так как отношение $q=2$ является постоянной величиной, данная последовательность является геометрической прогрессией.
2. Нахождение суммы первых n членов:
Найдем первый член прогрессии $b_1$:
$b_1 = 2^{1+2} = 2^3 = 8$.
Знаменатель $q=2$. Подставим $b_1$ и $q$ в формулу суммы:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{8 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 8(2^n - 1)$.
Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией. $S_n = 8(2^n - 1)$.