Номер 657, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

657. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна $b_1 + b_2 = 8$, а сумма третьего и четвёртого членов равна $b_3 + b_4 = 72$. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме $S_n = 242$?

Найдем знаменатель и первый член прогрессии

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, все члены прогрессии положительны, что означает $b_1 > 0$ и $q > 0$.

Сумма первых двух членов равна 8:
$b_1 + b_2 = 8$
Используя формулу n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем:
$b_1 + b_1q = 8$
$b_1(1+q) = 8$ (1)

Сумма третьего и четвёртого членов равна 72:
$b_3 + b_4 = 72$
$b_1q^2 + b_1q^3 = 72$
$b_1q^2(1+q) = 72$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Разделим второе уравнение на первое:
$\frac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)} = \frac{72}{8}$
$q^2 = 9$
Отсюда $q = 3$ или $q = -3$.
Так как по условию все члены прогрессии положительны, знаменатель $q$ должен быть положительным. Если бы $q$ был отрицательным, знаки членов прогрессии чередовались бы. Следовательно, мы выбираем $q = 3$.

Теперь найдем $b_1$, подставив значение $q=3$ в первое уравнение:
$b_1(1+3) = 8$
$4b_1 = 8$
$b_1 = 2$

Найдем количество членов прогрессии, сумма которых равна 242

Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
По условию $S_n = 242$. Подставим известные значения $b_1 = 2$ и $q = 3$:
$242 = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1}$
$242 = \frac{2(3^n - 1)}{2}$
$242 = 3^n - 1$
$243 = 3^n$
Чтобы найти $n$, определим, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 243.
$3^1 = 3$
$3^2 = 9$
$3^3 = 27$
$3^4 = 81$
$3^5 = 243$
Следовательно, $n = 5$.

Ответ: Чтобы получить в сумме 242, надо сложить 5 членов этой прогрессии.