Номер 660, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

660. Решите неравенство:

а) $1,5x - x^2 \le 0$;

б) $x^2 + x + 6 > 0$.

а) Решим неравенство $1,5x - x^2 \le 0$.

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $1,5x - x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1,5 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$1,5 - x_2 = 0 \implies x_2 = 1,5$

Теперь рассмотрим функцию $y = 1,5x - x^2$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=1,5$.

Нам необходимо найти те значения $x$, при которых функция принимает неположительные значения, то есть $y \le 0$. Так как ветви параболы направлены вниз, она будет ниже или на оси абсцисс за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух промежутков: $x \le 0$ и $x \ge 1,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [1,5; +\infty)$.

б) Решим неравенство $x^2 + x + 6 > 0$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + x + 6$. Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), значит, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, есть ли у параболы точки пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $x^2 + x + 6 = 0$. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = x^2 + x + 6$ не пересекает ось абсцисс.

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком расположена выше оси абсцисс. Это значит, что выражение $x^2 + x + 6$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + x + 6 > 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.