Номер 661, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

661. Какую фигуру задаёт на координатной плоскости система не-равенств

$\begin{cases} 3x - y \ge 0, \\ y - 5 \ge 0? \end{cases}$

Для того чтобы определить, какую фигуру задаёт на координатной плоскости данная система неравенств, мы рассмотрим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Исходная система неравенств:$\begin{cases}3x - y \ge 0, \\y - 5 \ge 0\end{cases}$

Сначала преобразуем неравенства к более удобному для анализа виду.

Первое неравенство, $3x - y \ge 0$, эквивалентно неравенству $y \le 3x$. Границей этой области является прямая $y = 3x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$ с угловым коэффициентом 3. Само неравенство $y \le 3x$ задает полуплоскость, которая включает в себя прямую $y = 3x$ и все точки, лежащие ниже этой прямой.

Второе неравенство, $y - 5 \ge 0$, эквивалентно неравенству $y \ge 5$. Границей этой области является прямая $y = 5$. Это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Неравенство $y \ge 5$ задает полуплоскость, которая включает в себя прямую $y=5$ и все точки, лежащие выше этой прямой.

Фигура, задаваемая системой неравенств, является пересечением этих двух полуплоскостей. То есть, мы ищем множество точек $(x,y)$ на координатной плоскости, для которых одновременно выполняются оба условия: $y \le 3x$ и $y \ge 5$.

Чтобы лучше представить эту фигуру, найдем точку пересечения ее граничных прямых $y = 3x$ и $y = 5$. Для этого решим систему уравнений:$\begin{cases}y = 3x, \\y = 5\end{cases}$

Подставив значение $y$ из второго уравнения в первое, получаем $5 = 3x$, откуда $x = \frac{5}{3}$.Следовательно, прямые пересекаются в точке с координатами $(\frac{5}{3}, 5)$.

Эта точка является вершиной искомой фигуры. Фигура ограничена двумя лучами, исходящими из этой вершины.

• Первый луч — это часть прямой $y = 5$, для которой выполняется условие $y \le 3x$. Подставив $y=5$, получаем $5 \le 3x$, или $x \ge \frac{5}{3}$. Это луч, начинающийся в точке $(\frac{5}{3}, 5)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=5$.
• Второй луч — это часть прямой $y = 3x$, для которой выполняется условие $y \ge 5$. Это луч, начинающийся в точке $(\frac{5}{3}, 5)$ и идущий вверх и вправо вдоль прямой $y=3x$.

Таким образом, фигура, заданная системой неравенств, представляет собой угол (бесконечную угловую область), включающий свои стороны.

Ответ: Данная система неравенств задает на координатной плоскости угол, вершина которого находится в точке $(\frac{5}{3}, 5)$, а стороны являются лучами, лежащими на прямых $y=5$ (при $x \ge \frac{5}{3}$) и $y=3x$ (при $x \ge \frac{5}{3}$).