Номер 663, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

663. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{1}{3} n(n + 1)(n + 2)$

Докажем данное равенство с помощью метода математической индукции.

Обозначим утверждение, которое нужно доказать, как $P(n)$:
$P(n): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$

Шаг 1: Базис индукции

Проверим, верно ли утверждение для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства при $n=1$ состоит из одного слагаемого:
$1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2$.

Правая часть равенства при $n=1$ равна:
$\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{6}{3} = 2$.

Так как левая и правая части равны ($2 = 2$), утверждение $P(1)$ верно.

Шаг 2: Индукционный шаг

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k$. Это называется индукционным предположением.

Индукционное предположение:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)$.

Теперь докажем, что из этого предположения следует верность утверждения для следующего натурального числа, то есть для $n = k + 1$. Другими словами, нам нужно доказать, что верно $P(k+1)$:

$P(k+1): 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) + (k+1)((k+1)+1) = \frac{1}{3}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)$.

Упростим правую часть целевого равенства:
$\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n = k+1$:

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) + (k+1)(k+2)$

Выделим в левой части сумму первых $k$ слагаемых, которая нам известна из индукционного предположения:

$(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1)) + (k+1)(k+2)$

Теперь заменим сумму в скобках на выражение из правой части нашего индукционного предположения:

$\frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k+1)(k+2)$

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:

$(k+1)(k+2) \cdot (\frac{1}{3}k + 1)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$(k+1)(k+2) \cdot (\frac{k}{3} + \frac{3}{3}) = (k+1)(k+2) \cdot (\frac{k+3}{3})$

Перепишем полученное выражение в виде, соответствующем правой части доказываемого равенства для $n=k+1$:

$\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

Мы получили в точности правую часть равенства для $n=k+1$. Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$.

Вывод

Так как утверждение верно для $n=1$ (базис индукции) и из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$ (индукционный шаг), то по принципу математической индукции данное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше с использованием метода математической индукции. Равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$ верно для всех натуральных $n$.