Номер 668, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

668. Докажите, что разность $49^n - 1$ кратна 48 при любом натуральном $n$.

Для доказательства того, что разность $49^n - 1$ кратна 48 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование формулы разности степеней

Воспользуемся известной алгебраической формулой для разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Представим наше выражение $49^n - 1$ в виде $49^n - 1^n$, так как $1^n = 1$ для любого натурального $n$.

Применим формулу, где $a = 49$ и $b = 1$:

$49^n - 1^n = (49 - 1)(49^{n-1} \cdot 1^0 + 49^{n-2} \cdot 1^1 + \dots + 49^1 \cdot 1^{n-2} + 49^0 \cdot 1^{n-1})$

Упростим выражение:

$49^n - 1 = 48 \cdot (49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1)$

Выражение в скобках $(49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1)$ представляет собой сумму целых чисел, так как $n$ — натуральное число. Следовательно, эта сумма также является целым числом. Обозначим эту сумму как $k$.

Тогда исходное выражение можно записать как $48 \cdot k$, где $k$ — целое число. Это по определению означает, что выражение $49^n - 1$ делится нацело на 48 при любом натуральном $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 2: Метод математической индукции

Доказательство состоит из двух шагов: база индукции и индукционный переход.

1. База индукции. Проверим утверждение для наименьшего натурального $n$, то есть для $n=1$.

$49^1 - 1 = 49 - 1 = 48$

Число 48 кратно 48 ($48 = 48 \cdot 1$), поэтому для $n=1$ утверждение верно.

2. Индукционный переход. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $49^k - 1$ кратно 48.

Это означает, что существует такое целое число $m$, что $49^k - 1 = 48m$. Отсюда можно выразить $49^k = 48m + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа, $n = k+1$. То есть докажем, что $49^{k+1} - 1$ кратно 48.

Преобразуем выражение $49^{k+1} - 1$:

$49^{k+1} - 1 = 49^k \cdot 49 - 1$

Используем наше предположение ($49^k = 48m + 1$) и подставим его в выражение:

$(48m + 1) \cdot 49 - 1 = 48m \cdot 49 + 1 \cdot 49 - 1 = 48m \cdot 49 + 48$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$48(49m + 1)$

Поскольку $m$ — целое число, то $49m+1$ также является целым числом. Таким образом, мы представили выражение $49^{k+1} - 1$ в виде произведения числа 48 и целого числа, что доказывает его кратность 48.

Так как утверждение верно для $n=1$ и из его верности для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$, то по принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Способ 3: Использование бинома Ньютона

Представим число 49 как сумму $48+1$. Тогда исходное выражение примет вид:

$49^n - 1 = (48+1)^n - 1$

Раскроем скобки с помощью формулы бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \dots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n$

Применим ее для $a=48$ и $b=1$:

$(48+1)^n = \binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} \cdot 1 + \dots + \binom{n}{n-1}48 \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{n}1^n$

Заметим, что все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, содержат множитель 48 в степени от 1 до $n$. Последнее слагаемое равно $\binom{n}{n}1^n = 1 \cdot 1 = 1$.

Сгруппируем все слагаемые, содержащие множитель 48:

$(48+1)^n = \left(\binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}48\right) + 1$

Вынесем 48 за скобку:

$(48+1)^n = 48 \cdot \left(\binom{n}{0}48^{n-1} + \binom{n}{1}48^{n-2} + \dots + \binom{n}{n-1}\right) + 1$

Выражение в скобках является целым числом, так как биномиальные коэффициенты и степени целых чисел являются целыми. Обозначим это выражение как $K$.

Тогда $(48+1)^n = 48K + 1$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$49^n - 1 = (48K+1) - 1 = 48K$

Так как $K$ — целое число, то $48K$ кратно 48. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.