Номер 662, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

662. Проверьте, что при $n = 1, 2, 3$ верна формула

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Докажите, что эта формула верна при любом натуральном $n$.

Проверка, что при n = 1, 2, 3 верна формула

Проверим справедливость равенства $1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ для указанных значений $n$.

При n = 1:
Левая часть: $1^3 = 1$.
Правая часть: $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Равенство $1 = 1$ верно.

При n = 2:
Левая часть: $1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9$.
Правая часть: $\frac{2^2(2+1)^2}{4} = \frac{4 \cdot 3^2}{4} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9$.
Равенство $9 = 9$ верно.

При n = 3:
Левая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36$.
Правая часть: $\frac{3^2(3+1)^2}{4} = \frac{9 \cdot 4^2}{4} = \frac{9 \cdot 16}{4} = 9 \cdot 4 = 36$.
Равенство $36 = 36$ верно.

Ответ: Проверка подтвердила, что формула верна для $n = 1, 2, 3$.

Доказательство, что эта формула верна при любом натуральном n

Докажем данное тождество методом математической индукции. Обозначим утверждение $P(n)$: $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

Шаг 1: База индукции
Для $n=1$ утверждение $P(1)$ верно, что было показано в первой части: $1^3 = \frac{1^2(1+1)^2}{4}$, или $1=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$:
$1^3 + 2^3 + ... + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что из верности $P(k)$ следует верность $P(k+1)$, то есть:
$1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}$.

Преобразуем левую часть равенства для $P(k+1)$, используя индукционное предположение для суммы первых $k$ кубов:
$(1^3 + 2^3 + ... + k^3) + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и вынесем за скобки общий множитель $(k+1)^2$:
$\frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}$.

Упростим выражение в скобках:
$k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$.

Подставим полученный результат обратно в выражение:
$\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью равенства для $P(k+1)$: $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.
Таким образом, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано, что формула верна для любого натурального $n$.