Номер 659, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

659. Сократите дробь:

а) $\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n}$;

б) $\frac{25^n - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$.

а)

Для того чтобы сократить дробь $\frac{2^{n+2} - 2^{n-2}}{2^n}$, необходимо преобразовать числитель, вынеся за скобки общий множитель.

1. Воспользуемся свойствами степеней $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и $a^{x-y} = a^x \cdot a^{-y}$ и представим каждый член числителя через множитель $2^n$:
$2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^n$
$2^{n-2} = 2^n \cdot 2^{-2} = 2^n \cdot \frac{1}{4}$

2. Подставим полученные выражения в числитель дроби:
$\frac{4 \cdot 2^n - \frac{1}{4} \cdot 2^n}{2^n}$

3. Вынесем общий множитель $2^n$ в числителе за скобки:
$\frac{2^n (4 - \frac{1}{4})}{2^n}$

4. Сократим дробь на $2^n$ (так как $2^n$ не может быть равно нулю):
$4 - \frac{1}{4}$

5. Найдем значение выражения:
$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Ответ: $\frac{15}{4}$

б)

Для сокращения дроби $\frac{25^n - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$ приведем все степени к одному основанию.

1. Заметим, что основание $25$ можно представить как $5^2$. Тогда $25^n = (5^2)^n = 5^{2n}$.

2. Перепишем дробь с новым основанием:
$\frac{5^{2n} - 5^{2n-1}}{5^{2n}}$

3. Как и в предыдущем примере, вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общий множитель здесь $5^{2n}$. Используем свойство $a^{x-y} = a^x \cdot a^{-y}$:
$5^{2n-1} = 5^{2n} \cdot 5^{-1} = 5^{2n} \cdot \frac{1}{5}$

4. Вынесем $5^{2n}$ за скобки в числителе:
$\frac{5^{2n} (1 - \frac{1}{5})}{5^{2n}}$

5. Сократим дробь на $5^{2n}$:
$1 - \frac{1}{5}$

6. Вычислим результат:
$1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$