Номер 653, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

653. Найдите сумму первых семи членов геометрической про-

грессии ($b_n$), если:

a) $b_7 = 72,9, q = 1,5;$

б) $b_5 = \frac{16}{9}, q = \frac{2}{3};$

в) $b_3 = 64, q = -\frac{1}{2};$

г) $b_4 = 81, q = -\frac{1}{3}.$

а) Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии ($S_7$) воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Нам дано $b_7 = 72,9$ и $q = 1,5$. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$.
Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для $n=7$ имеем $b_7 = b_1 \cdot q^6$.
Отсюда $b_1 = \frac{b_7}{q^6}$.
Подставим известные значения: $q = 1,5 = \frac{3}{2}$.
$q^6 = (\frac{3}{2})^6 = \frac{729}{64}$.
$b_1 = \frac{72,9}{729/64} = \frac{729/10}{729/64} = \frac{729}{10} \cdot \frac{64}{729} = \frac{64}{10} = 6,4$.
Теперь вычислим сумму $S_7$:
$S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q - 1}$.
$q^7 = q^6 \cdot q = \frac{729}{64} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2187}{128}$.
$S_7 = \frac{6,4 \cdot ((\frac{2187}{128}) - 1)}{1,5 - 1} = \frac{6,4 \cdot (\frac{2187 - 128}{128})}{0,5} = \frac{6,4 \cdot \frac{2059}{128}}{0,5} = \frac{\frac{64}{10} \cdot \frac{2059}{128}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2059}{2} \cdot 2 = \frac{2059}{10} = 205,9$.
Ответ: $205,9$.

б) Дано $b_5 = \frac{16}{9}$ и $q = \frac{2}{3}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_5 = b_1 \cdot q^4$:
$b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{16/9}{(2/3)^4} = \frac{16/9}{16/81} = \frac{16}{9} \cdot \frac{81}{16} = 9$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{9 \cdot ((\frac{2}{3})^7 - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{9 \cdot (\frac{128}{2187} - 1)}{-\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot (\frac{128 - 2187}{2187})}{-\frac{1}{3}} = \frac{9 \cdot (-\frac{2059}{2187})}{-\frac{1}{3}}$.
$S_7 = 9 \cdot \frac{2059}{2187} \cdot 3 = 27 \cdot \frac{2059}{2187} = \frac{2059}{81}$.
Ответ: $\frac{2059}{81}$.

в) Дано $b_3 = 64$ и $q = \frac{1}{2}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_3 = b_1 \cdot q^2$:
$b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{64}{(1/2)^2} = \frac{64}{1/4} = 64 \cdot 4 = 256$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{256 \cdot ((\frac{1}{2})^7 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{256 \cdot (\frac{1}{128} - 1)}{-\frac{1}{2}} = \frac{256 \cdot (\frac{1 - 128}{128})}{-\frac{1}{2}} = \frac{256 \cdot (-\frac{127}{128})}{-\frac{1}{2}}$.
$S_7 = \frac{2 \cdot (-127)}{-1/2} = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508$.
Ответ: $508$.

г) Дано $b_4 = 81$ и $q = -\frac{1}{3}$. Найдем $S_7$.
Сначала найдем $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$:
$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{81}{(-1/3)^3} = \frac{81}{-1/27} = -81 \cdot 27 = -2187$.
Теперь вычислим сумму $S_7$ по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:
$S_7 = \frac{-2187 \cdot ((-\frac{1}{3})^7 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{-2187 \cdot (-\frac{1}{2187} - 1)}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187 \cdot (\frac{-1 - 2187}{2187})}{-\frac{4}{3}} = \frac{-2187 \cdot (-\frac{2188}{2187})}{-\frac{4}{3}}$.
$S_7 = \frac{2188}{-\frac{4}{3}} = -2188 \cdot \frac{3}{4} = -547 \cdot 3 = -1641$.
Ответ: $-1641$.