Номер 3, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3. Запишите формулы $n$-го члена и суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии.

Формула $n$-го члена:

$b_n = b_1 q^{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, при $q \neq 1$

$S_n = n b_1$, при $q = 1$

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел $(b_n)$, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$, называемое знаменателем прогрессии. По условию, $b_1 \ne 0$ и $q \ne 0$.

Для записи формулы n-го члена $b_n$ используются следующие обозначения:
$b_1$ — первый член прогрессии;
$q$ — знаменатель прогрессии;
$n$ — порядковый номер искомого члена.

Чтобы вывести формулу, выразим несколько первых членов прогрессии через $b_1$ и $q$, используя рекуррентное соотношение $b_{n+1} = b_n \cdot q$:
$b_2 = b_1 \cdot q = b_1 \cdot q^{2-1}$
$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_1 \cdot q^2) \cdot q = b_1 \cdot q^3 = b_1 \cdot q^{4-1}$
Можно заметить закономерность: чтобы найти член прогрессии с номером $n$, необходимо первый член $b_1$ умножить на знаменатель $q$ в степени $n-1$.

Ответ: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, обозначаемая $S_n$, представляет собой сумму $S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$. Вывод и вид формулы зависят от значения знаменателя $q$.

Случай 1: Знаменатель $q = 1$.
Если знаменатель равен единице, то все члены прогрессии равны первому члену: $b_1 = b_2 = \dots = b_n$. В этом случае сумма представляет собой $n$ одинаковых слагаемых $b_1$, и ее легко вычислить:
$S_n = \underbrace{b_1 + b_1 + \dots + b_1}_{n \text{ слагаемых}} = n \cdot b_1$.

Случай 2: Знаменатель $q \ne 1$.
Запишем сумму, используя формулу n-го члена: $S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$.
Умножим обе части этого равенства на знаменатель $q$: $S_n \cdot q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$.
Теперь вычтем из второго равенства первое. Большинство членов в правой части взаимно уничтожатся: $S_n \cdot q - S_n = (b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^n) - (b_1 + b_1q + \dots + b_1q^{n-1})$.
$S_n(q - 1) = b_1q^n - b_1$.
Вынесем $b_1$ за скобки в правой части: $S_n(q - 1) = b_1(q^n - 1)$.
Поскольку $q \ne 1$, то $q-1 \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $(q-1)$, чтобы выразить $S_n$.

Данную формулу также часто записывают в эквивалентном виде $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, который получается умножением числителя и знаменателя на -1. Эта форма особенно удобна для вычислений, когда $|q| < 1$.

Ответ:
При $q \ne 1$: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
При $q = 1$: $S_n = n \cdot b_1$