Номер 669, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2024
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-09-0779-15
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
29. Метод математической индукции. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 669, страница 175.
№669 (с. 175)
Условие. №669 (с. 175)
скриншот условия

669. Пусть — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. при . Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:
a) ;
б) .
Решение 1. №669 (с. 175)


Решение 2. №669 (с. 175)

Решение 3. №669 (с. 175)

Решение 4. №669 (с. 175)

Решение 5. №669 (с. 175)

Решение 7. №669 (с. 175)

Решение 8. №669 (с. 175)
а) Докажем тождество методом математической индукции. Последовательность чисел Фибоначчи определяется следующим образом: , и для всех натуральных .
1. База индукции. Проверим утверждение для .
Левая часть равенства: .
Правая часть равенства: .
Равенство верно, следовательно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального , то есть:
(индукционное предположение).
Докажем, что из этого следует верность формулы и для , то есть:
.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
.
Согласно определению чисел Фибоначчи, .
Таким образом, левая часть равна , что совпадает с правой частью .
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального .
Ответ: Тождество доказано.
б) Докажем тождество методом математической индукции.
1. База индукции. Проверим утверждение для .
Левая часть равенства: .
Правая часть равенства: .
Равенство верно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального , то есть:
(индукционное предположение).
Докажем, что формула верна и для , то есть:
.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
.
Вынесем общий множитель за скобки:
.
По определению последовательности Фибоначчи, .
Подставив это в выражение, получаем:
.
Это совпадает с правой частью равенства для .
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального .
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 669 расположенного на странице 175 к учебнику 2014 - 2024 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №669 (с. 175), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.