Номер 669, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2024

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-09-0779-15

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

29. Метод математической индукции. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 669, страница 175.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№669 (с. 175)
Условие. №669 (с. 175)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Условие

669. Пусть (un)(u_n) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u1=1,u2=1,un+2=un+un+1u_1 = 1, u_2 = 1, u_{n+2} = u_n + u_{n+1} при n>2n > 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

a) u1+u3+u5++u2n1=u2nu_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n};

б) u12+u22+u32++un2=unun+1u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}.

Решение 1. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 2
Решение 3. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 3
Решение 4. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 4
Решение 5. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 5
Решение 7. №669 (с. 175)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2014 - 2024, страница 175, номер 669, Решение 7
Решение 8. №669 (с. 175)

а) Докажем тождество u1+u3+u5+...+u2n1=u2nu_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2n-1} = u_{2n} методом математической индукции. Последовательность чисел Фибоначчи (un)(u_n) определяется следующим образом: u1=1u_1 = 1, u2=1u_2 = 1 и uk+2=uk+1+uku_{k+2} = u_{k+1} + u_k для всех натуральных k1k \ge 1.
1. База индукции. Проверим утверждение для n=1n=1.
Левая часть равенства: u1=1u_1 = 1.
Правая часть равенства: u21=u2=1u_{2 \cdot 1} = u_2 = 1.
Равенство 1=11=1 верно, следовательно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального n=kn=k, то есть:
u1+u3+u5+...+u2k1=u2ku_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2k-1} = u_{2k} (индукционное предположение).
Докажем, что из этого следует верность формулы и для n=k+1n=k+1, то есть:
u1+u3+u5+...+u2k1+u2(k+1)1=u2(k+1)u_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2k-1} + u_{2(k+1)-1} = u_{2(k+1)}.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
(u1+u3+...+u2k1)u2k+u2k+1=u2k+u2k+1\underbrace{(u_1 + u_3 + ... + u_{2k-1})}_{u_{2k}} + u_{2k+1} = u_{2k} + u_{2k+1}.
Согласно определению чисел Фибоначчи, u2k+u2k+1=u2k+2u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2}.
Таким образом, левая часть равна u2k+2u_{2k+2}, что совпадает с правой частью u2(k+1)u_{2(k+1)}.
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального nn.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество u12+u22+u32+...+un2=unun+1u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1} методом математической индукции.
1. База индукции. Проверим утверждение для n=1n=1.
Левая часть равенства: u12=12=1u_1^2 = 1^2 = 1.
Правая часть равенства: u1u2=11=1u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1.
Равенство 1=11=1 верно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального n=kn=k, то есть:
u12+u22+...+uk2=ukuk+1u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2 = u_k \cdot u_{k+1} (индукционное предположение).
Докажем, что формула верна и для n=k+1n=k+1, то есть:
u12+u22+...+uk2+uk+12=uk+1uk+2u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_{k+1} \cdot u_{k+2}.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
(u12+u22+...+uk2)ukuk+1+uk+12=ukuk+1+uk+12\underbrace{(u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2)}_{u_k \cdot u_{k+1}} + u_{k+1}^2 = u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2.
Вынесем общий множитель uk+1u_{k+1} за скобки:
uk+1(uk+uk+1)u_{k+1} (u_k + u_{k+1}).
По определению последовательности Фибоначчи, uk+uk+1=uk+2u_k + u_{k+1} = u_{k+2}.
Подставив это в выражение, получаем:
uk+1uk+2u_{k+1} \cdot u_{k+2}.
Это совпадает с правой частью равенства для n=k+1n=k+1.
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального nn.
Ответ: Тождество доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 669 расположенного на странице 175 к учебнику 2014 - 2024 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №669 (с. 175), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (старый) учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться