Номер 669, страница 175 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

669. Пусть $(u_n)$ — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. $u_1 = 1, u_2 = 1, u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$ при $n > 2$. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

a) $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$;

б) $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$.

а) Докажем тождество $u_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2n-1} = u_{2n}$ методом математической индукции. Последовательность чисел Фибоначчи $(u_n)$ определяется следующим образом: $u_1 = 1$, $u_2 = 1$ и $u_{k+2} = u_{k+1} + u_k$ для всех натуральных $k \ge 1$.
1. База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1 = 1$.
Правая часть равенства: $u_{2 \cdot 1} = u_2 = 1$.
Равенство $1=1$ верно, следовательно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$u_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2k-1} = u_{2k}$ (индукционное предположение).
Докажем, что из этого следует верность формулы и для $n=k+1$, то есть:
$u_1 + u_3 + u_5 + ... + u_{2k-1} + u_{2(k+1)-1} = u_{2(k+1)}$.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
$\underbrace{(u_1 + u_3 + ... + u_{2k-1})}_{u_{2k}} + u_{2k+1} = u_{2k} + u_{2k+1}$.
Согласно определению чисел Фибоначчи, $u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2}$.
Таким образом, левая часть равна $u_{2k+2}$, что совпадает с правой частью $u_{2(k+1)}$.
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + ... + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ методом математической индукции.
1. База индукции. Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть равенства: $u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1$.
Равенство $1=1$ верно, база индукции выполняется.
2. Индукционный шаг. Предположим, что формула верна для некоторого натурального $n=k$, то есть:
$u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2 = u_k \cdot u_{k+1}$ (индукционное предположение).
Докажем, что формула верна и для $n=k+1$, то есть:
$u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_{k+1} \cdot u_{k+2}$.
Преобразуем левую часть этого равенства, используя индукционное предположение:
$\underbrace{(u_1^2 + u_2^2 + ... + u_k^2)}_{u_k \cdot u_{k+1}} + u_{k+1}^2 = u_k \cdot u_{k+1} + u_{k+1}^2$.
Вынесем общий множитель $u_{k+1}$ за скобки:
$u_{k+1} (u_k + u_{k+1})$.
По определению последовательности Фибоначчи, $u_k + u_{k+1} = u_{k+2}$.
Подставив это в выражение, получаем:
$u_{k+1} \cdot u_{k+2}$.
Это совпадает с правой частью равенства для $n=k+1$.
Индукционный шаг доказан. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для любого натурального $n$.
Ответ: Тождество доказано.