Номер 674, страница 176 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

674. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон?

Пусть длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Мы можем представить эти длины как $a-d$, $a$ и $a+d$, где $a$ - средняя по величине сторона, а $d$ - разность прогрессии.

Периметр треугольника $P$ - это сумма длин его сторон: $P = (a-d) + a + (a+d)$

Упростив выражение, мы видим, что разность $d$ сокращается: $P = 3a$

По условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу: $24 = 3a$

Отсюда мы можем однозначно найти длину средней стороны $a$: $a = \frac{24}{3} = 8$ см.

Таким образом, независимо от разности прогрессии, длина одной из сторон треугольника всегда будет равна 8 см.

Ответ: Да, можно. Длина одной из сторон равна 8 см.

Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Мы уже знаем, что стороны треугольника можно записать как $8-d$, $8$ и $8+d$, где $d$ - разность прогрессии. Поскольку по условию длины сторон являются целыми числами, то и разность $d$ должна быть целым числом. Для удобства будем считать $d \ge 0$, так как отрицательное $d$ просто поменяет порядок сторон в прогрессии.

Чтобы эти три отрезка могли образовать треугольник, они должны удовлетворять двум условиям:

1. Длины всех сторон должны быть положительными. Так как мы приняли $d \ge 0$, стороны $8$ и $8+d$ всегда положительны. Нужно лишь убедиться, что самая короткая сторона больше нуля: $8 - d > 0$ $d < 8$

2. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Достаточно проверить для суммы двух меньших сторон и большей стороны: $(8-d) + 8 > 8+d$ $16 - d > 8+d$ $8 > 2d$ $d < 4$

Мы получили два ограничения на целое неотрицательное число $d$: $d < 8$ и $d < 4$. Наиболее строгим является второе условие, $d < 4$. Следовательно, возможные целые значения для $d$ это 0, 1, 2, 3.

Теперь найдем наборы длин сторон для каждого возможного значения $d$:

• Если $d=0$, стороны равны: $8-0=8$, $8$, $8+0=8$. Набор: (8, 8, 8).
• Если $d=1$, стороны равны: $8-1=7$, $8$, $8+1=9$. Набор: (7, 8, 9).
• Если $d=2$, стороны равны: $8-2=6$, $8$, $8+2=10$. Набор: (6, 8, 10).
• Если $d=3$, стороны равны: $8-3=5$, $8$, $8+3=11$. Набор: (5, 8, 11).

Если бы мы взяли $d=4$, то получили бы стороны (4, 8, 12), для которых не выполняется неравенство треугольника ($4+8=12$), такой треугольник называется вырожденным.

Ответ: Длины сторон треугольника могут принимать следующие наборы целых значений (в сантиметрах): (8, 8, 8), (7, 8, 9), (6, 8, 10) и (5, 8, 11).