Номер 679, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

679. Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен $2\frac{3}{4}$, а разность равна $\frac{2}{5}$. Является ли членом этой прогрессии число:

а) $14\frac{3}{4}$;

б) $8,35$?

Чтобы определить, является ли число членом арифметической прогрессии, необходимо использовать формулу n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Если в результате решения уравнения относительно $n$ получается натуральное число (целое и положительное), то данное число является членом прогрессии.

По условию задачи, первый член прогрессии $a_1 = 2\frac{3}{4}$, а разность $d = \frac{2}{5}$.

а) Проверим число $14\frac{3}{4}$.

Подставим значения в формулу, где $a_n = 14\frac{3}{4}$:

$14\frac{3}{4} = 2\frac{3}{4} + (n-1) \cdot \frac{2}{5}$

Вычтем $2\frac{3}{4}$ из обеих частей уравнения:

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = 14\frac{3}{4} - 2\frac{3}{4}$

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = 12$

Теперь найдем $n-1$, разделив 12 на $\frac{2}{5}$:

$n-1 = 12 : \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2}$

$n-1 = \frac{60}{2} = 30$

Найдем $n$:

$n = 30 + 1 = 31$

Так как $n=31$ — натуральное число, то число $14\frac{3}{4}$ является 31-м членом данной прогрессии.

Ответ: да, является.

б) Проверим число $8,35$.

Для удобства вычислений представим все числа в виде обыкновенных дробей.

$a_1 = 2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

$a_n = 8,35 = 8\frac{35}{100} = 8\frac{7}{20} = \frac{8 \cdot 20 + 7}{20} = \frac{167}{20}$

Подставим значения в формулу:

$\frac{167}{20} = \frac{11}{4} + (n-1) \cdot \frac{2}{5}$

Выразим слагаемое с $n$:

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = \frac{167}{20} - \frac{11}{4}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 20:

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = \frac{167}{20} - \frac{11 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{167}{20} - \frac{55}{20}$

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = \frac{112}{20}$

Сократим дробь $\frac{112}{20}$ на 4:

$(n-1) \cdot \frac{2}{5} = \frac{28}{5}$

Найдем $n-1$:

$n-1 = \frac{28}{5} : \frac{2}{5} = \frac{28}{5} \cdot \frac{5}{2}$

$n-1 = \frac{28}{2} = 14$

Найдем $n$:

$n = 14 + 1 = 15$

Так как $n=15$ — натуральное число, то число $8,35$ является 15-м членом данной прогрессии.

Ответ: да, является.