Номер 682, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе 4. Глава 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 682, страница 177.

682. Докажите, что если $d$ — разность арифметической прогрессии, а $x_m$ и $x_n$ — члены этой прогрессии, причём $m \ne n$, то $d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(x_k)$, где $x_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Общая формула для нахождения $k$-го члена арифметической прогрессии имеет вид:
$x_k = x_1 + (k - 1)d$

Используя эту формулу, запишем выражения для членов прогрессии с номерами $m$ и $n$:
$x_m = x_1 + (m - 1)d$ (1)
$x_n = x_1 + (n - 1)d$ (2)

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$x_m - x_n = (x_1 + (m - 1)d) - (x_1 + (n - 1)d)$

Раскроем скобки в правой части равенства и приведем подобные слагаемые:
$x_m - x_n = x_1 + md - d - x_1 - nd + d$
$x_m - x_n = (x_1 - x_1) + (md - nd) + (-d + d)$
$x_m - x_n = 0 + (m - n)d + 0$
$x_m - x_n = (m - n)d$

По условию задачи $m \neq n$, из этого следует, что разность $m - n \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части полученного равенства на $(m - n)$, чтобы выразить $d$:
$d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Доказано, что для любых двух членов $x_m$ и $x_n$ арифметической прогрессии с разностью $d$, где $m \neq n$, справедливо равенство $d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$.