Номер 684, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

684. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии:

а) $ \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; ...; $

б) $ \sqrt{3}; \sqrt{12}; ... $

а)

Для нахождения суммы первых десяти членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $n$ — число членов, $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

В данном случае, число членов $n=10$.

Первый член прогрессии $a_1 = \frac{2}{3}$.

Второй член прогрессии $a_2 = \frac{3}{4}$.

Найдем разность прогрессии $d$, вычитая из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, равному 12: $d = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1}{12}$.

Теперь, зная $a_1$, $d$ и $n$, мы можем вычислить сумму первых десяти членов $S_{10}$: $S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{12} \cdot 9}{2} \cdot 10$.

Выполним вычисления в числителе: $2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{12} \cdot 9 = \frac{4}{3} + \frac{9}{12}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{12} = \frac{16}{12} + \frac{9}{12} = \frac{25}{12}$.

Подставим полученное значение обратно в формулу суммы: $S_{10} = \frac{\frac{25}{12}}{2} \cdot 10 = \frac{25}{12 \cdot 2} \cdot 10 = \frac{25}{24} \cdot 10 = \frac{250}{24}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $S_{10} = \frac{125}{12}$.

Ответ: $\frac{125}{12}$.

б)

Найдем сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, заданной членами $\sqrt{3}; \sqrt{12}; \ldots$.

Снова используем формулу $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$ при $n=10$.

Первый член прогрессии $a_1 = \sqrt{3}$.

Второй член прогрессии $a_2 = \sqrt{12}$. Упростим это выражение: $a_2 = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2-1)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Подставим известные значения $a_1=\sqrt{3}$, $d=\sqrt{3}$ и $n=10$ в формулу суммы: $S_{10} = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$.

Выполним вычисления: $S_{10} = \frac{2\sqrt{3} + 9\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = \frac{(2+9)\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = \frac{11\sqrt{3}}{2} \cdot 10$.

$S_{10} = 11\sqrt{3} \cdot \frac{10}{2} = 11\sqrt{3} \cdot 5 = 55\sqrt{3}$.

Ответ: $55\sqrt{3}$.