Номер 680, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

680. Найдите:

а) первый положительный член арифметической прогрессии

$-10\frac{1}{2}; -10\frac{1}{4}; -10; \ldots$;

б) первый отрицательный член арифметической прогрессии

$8\frac{1}{2}; 8\frac{1}{3}; 8\frac{1}{6}; \ldots$.

а)
Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, где $a_1 = -10\frac{1}{2}$, $a_2 = -10\frac{1}{4}$, $a_3 = -10$, ...
Для начала определим разность арифметической прогрессии $d$. Разность — это значение, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего.
$d = a_2 - a_1 = -10\frac{1}{4} - (-10\frac{1}{2}) = -10,25 - (-10,5) = -10,25 + 10,5 = 0,25$.
Итак, разность прогрессии $d = 0,25$ или $d = \frac{1}{4}$. Первый член прогрессии $a_1 = -10\frac{1}{2} = -10,5$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Нам необходимо найти первый положительный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$.
Подставим известные значения в формулу и решим неравенство:
$-10,5 + (n-1) \cdot 0,25 > 0$
Перенесем $-10,5$ в правую часть:
$(n-1) \cdot 0,25 > 10,5$
Разделим обе части на 0,25:
$n-1 > \frac{10,5}{0,25}$
$n-1 > 42$
$n > 43$
Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 43$, это $n=44$.
Теперь найдем значение этого члена прогрессии, подставив $n=44$ в формулу:
$a_{44} = a_1 + (44-1)d = -10,5 + 43 \cdot 0,25 = -10,5 + 10,75 = 0,25$.
Ответ: 0,25

б)
Дана арифметическая прогрессия $(b_n)$, где $b_1 = 8\frac{1}{2}$, $b_2 = 8\frac{1}{3}$, $b_3 = 8\frac{1}{6}$, ...
Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби.
$b_1 = 8\frac{1}{2} = \frac{16+1}{2} = \frac{17}{2}$
$b_2 = 8\frac{1}{3} = \frac{24+1}{3} = \frac{25}{3}$
Найдем разность арифметической прогрессии $d$.
$d = b_2 - b_1 = \frac{25}{3} - \frac{17}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$d = \frac{25 \cdot 2}{6} - \frac{17 \cdot 3}{6} = \frac{50}{6} - \frac{51}{6} = -\frac{1}{6}$.
Итак, разность прогрессии $d = -\frac{1}{6}$.
Нам необходимо найти первый отрицательный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого выполняется неравенство $b_n < 0$.
Используем формулу n-го члена $b_n = b_1 + (n-1)d$ и решим неравенство:
$\frac{17}{2} + (n-1)(-\frac{1}{6}) < 0$
$\frac{17}{2} - \frac{n-1}{6} < 0$
Перенесем член с $n$ в правую часть:
$\frac{17}{2} < \frac{n-1}{6}$
Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от знаменателей:
$\frac{17}{2} \cdot 6 < n-1$
$17 \cdot 3 < n-1$
$51 < n-1$
$52 < n$
Так как $n$ — это натуральное число, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $n > 52$, это $n=53$.
Теперь найдем значение 53-го члена прогрессии:
$b_{53} = b_1 + (53-1)d = \frac{17}{2} + 52 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{17}{2} - \frac{52}{6} = \frac{17 \cdot 3}{6} - \frac{52}{6} = \frac{51}{6} - \frac{52}{6} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$