Страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

648. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

а) $b_1 = 8, q = \frac{1}{2}$;

б) $b_1 = 500, q = \frac{1}{5}$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В данной задаче нам нужно найти сумму первых пяти членов, то есть $n=5$.

а) Дано: $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{8 \cdot (1 - \frac{1}{32})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot (\frac{32}{32} - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

Выполним умножение в числителе:

$8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{8 \cdot 31}{32} = \frac{31}{4}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{31}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{31}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{31 \cdot 2}{4} = \frac{62}{4} = \frac{31}{2} = 15.5$

Ответ: $S_5 = \frac{31}{2}$

б) Дано: $b_1 = 500$, $q = \frac{1}{5}$.

Подставим значения в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}}$

Вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{5})^5 = \frac{1^5}{5^5} = \frac{1}{3125}$

Подставим это значение обратно в формулу:

$S_5 = \frac{500 \cdot (1 - \frac{1}{3125})}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{500 \cdot (\frac{3125}{3125} - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}}$

Выполним умножение в числителе, сократив 500 и 3125:

$500 \cdot \frac{3124}{3125} = \frac{500 \cdot 3124}{3125} = \frac{4 \cdot 125 \cdot 3124}{25 \cdot 125} = \frac{4 \cdot 3124}{25}$

Теперь выполним деление:

$S_5 = \frac{\frac{4 \cdot 3124}{25}}{\frac{4}{5}} = \frac{4 \cdot 3124}{25} \cdot \frac{5}{4} = \frac{4 \cdot 3124 \cdot 5}{25 \cdot 4}$

Сократим дроби:

$S_5 = \frac{3124 \cdot 5}{25} = \frac{3124}{5} = 624.8$

Ответ: $S_5 = \frac{3124}{5}$

649. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии:

а) 3; -6; ... ;

б) 54; 36; ... ;

в) -32; -16; ... ;

г) 1; $-\frac{1}{2}$; ... .

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (или $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$), где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов. Во всех случаях нам нужно найти сумму первых шести членов, поэтому $n=6$.

а) 3; -6; ...

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 3$, а второй член $b_2 = -6$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-6}{3} = -2$.

Теперь найдем сумму первых шести членов ($n=6$), используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{3 \cdot ((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3 \cdot (64 - 1)}{-3} = \frac{3 \cdot 63}{-3} = -63$.

Ответ: -63

б) 54; 36; ...

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 54$, а второй член $b_2 = 36$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.

Так как $|q| < 1$, удобнее использовать формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Найдем сумму первых шести членов ($n=6$):

$S_6 = \frac{54 \cdot (1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot (\frac{729-64}{729})}{\frac{1}{3}} = \frac{54 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{1}{3}}$.

$S_6 = 54 \cdot \frac{665}{729} \cdot 3 = 162 \cdot \frac{665}{729} = \frac{162 \cdot 665}{729} = \frac{2 \cdot 81 \cdot 665}{9 \cdot 81} = \frac{2 \cdot 665}{9} = \frac{1330}{9}$.

Ответ: $\frac{1330}{9}$

в) -32; -16; ...

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = -32$, а второй член $b_2 = -16$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}$.

Так как $|q| < 1$, используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Найдем сумму первых шести членов ($n=6$):

$S_6 = \frac{-32 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{-32 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$.

$S_6 = -32 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = -64 \cdot \frac{63}{64} = -63$.

Ответ: -63

г) 1; $-\frac{1}{2}$; ...

Дана геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = 1$, а второй член $b_2 = -\frac{1}{2}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$.

Найдем сумму первых шести членов ($n=6$), используя формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_6 = \frac{1 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}}$.

$S_6 = \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{21 \cdot 3 \cdot 2}{32 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{21}{32}$.

Ответ: $\frac{21}{32}$