Номер 634, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

634. Между числами 2 и 162 вставьте такие три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

Пусть искомая геометрическая прогрессия $(b_n)$ состоит из пяти членов. По условию, её первый член $b_1 = 2$, а пятый член $b_5 = 162$. Три числа, которые необходимо вставить, будут вторым, третьим и четвертым членами этой прогрессии, то есть $b_2, b_3, b_4$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Применим эту формулу для пятого члена прогрессии ($n=5$), чтобы найти знаменатель $q$.

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

Подставим известные значения $b_1 = 2$ и $b_5 = 162$:

$162 = 2 \cdot q^4$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $q^4$:

$q^4 = \frac{162}{2}$

$q^4 = 81$

Так как показатель степени (4) четный, данное уравнение имеет два действительных корня:

$q = \sqrt[4]{81} = 3$ и $q = -\sqrt[4]{81} = -3$.

Следовательно, задача имеет два решения, соответствующих двум возможным значениям знаменателя прогрессии.

Случай 1: Знаменатель прогрессии $q = 3$.
Найдем три искомых числа, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot 3 = 54$
В этом случае искомые числа: 6, 18, 54. Прогрессия: 2, 6, 18, 54, 162.

Случай 2: Знаменатель прогрессии $q = -3$.
Аналогично находим три искомых числа:
$b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot (-3) = -6$
$b_3 = b_2 \cdot q = (-6) \cdot (-3) = 18$
$b_4 = b_3 \cdot q = 18 \cdot (-3) = -54$
В этом случае искомые числа: -6, 18, -54. Прогрессия: 2, -6, 18, -54, 162.

Ответ: 6, 18, 54 или -6, 18, -54.