Номер 628, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

628. Найдите шестой и $n$-й члены геометрической прогрессии:

а) 48; 12; ... ;

б) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ... ;

в) -0,001; -0,01; ... ;

г) -100; 10; ... .

Чтобы найти шестой и n-й члены геометрической прогрессии, необходимо сначала определить её первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$). Знаменатель находится путем деления второго члена прогрессии на первый ($q = b_2 / b_1$). Затем используется формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

а) 48; 12; ...

В данной геометрической прогрессии первый член $b_1 = 48$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем шестой член прогрессии, подставив $n=6$ в общую формулу:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3}{64}$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$. Эту формулу можно упростить: $b_n = 3 \cdot 16 \cdot (4^{-1})^{n-1} = 3 \cdot 4^2 \cdot 4^{1-n} = 3 \cdot 4^{3-n}$.

Ответ: $b_6 = \frac{3}{64}$, $b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$.

б) $\frac{64}{9}$; $-\frac{32}{3}$; ...

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{64}{9}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-32/3}{64/9} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = \frac{2 \cdot 32}{9} \cdot \left(-\frac{27 \cdot 9}{32}\right) = 2 \cdot (-27) = -54$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

Ответ: $b_6 = -54$, $b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$.

в) -0,001; -0,01; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -0,001$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-0,01}{-0,001} = 10$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -0,001 \cdot 10^5 = -0,001 \cdot 100000 = -100$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = -0,001 \cdot 10^{n-1}$. Упростим выражение: $b_n = -10^{-3} \cdot 10^{n-1} = -10^{n-1-3} = -10^{n-4}$.

Ответ: $b_6 = -100$, $b_n = -10^{n-4}$.

г) -100; 10; ...

Первый член прогрессии $b_1 = -100$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{10}{-100} = -0,1$ или $-\frac{1}{10}$.

Найдем шестой член прогрессии ($n=6$):
$b_6 = b_1 \cdot q^{5} = -100 \cdot (-0,1)^5 = -100 \cdot (-0,00001) = 0,001$.

Формула n-го члена для данной прогрессии:
$b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$. Упростим выражение: $b_n = -10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot (10^{-1})^{n-1} = (-1)^1 \cdot 10^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 10^{1-n} = (-1)^{n} \cdot 10^{3-n}$.

Ответ: $b_6 = 0,001$, $b_n = -100 \cdot (-0,1)^{n-1}$.