Номер 3, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Как выражается любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, через предыдущий и последующий члены?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа $d$, называемого разностью прогрессии.

Рассмотрим три последовательных члена арифметической прогрессии: $a_{n-1}$ (предыдущий член), $a_n$ (текущий член) и $a_{n+1}$ (последующий член). Условие задачи выполняется для $n \ge 2$.

По определению арифметической прогрессии мы можем записать:
$a_n = a_{n-1} + d$ (1)
$a_{n+1} = a_n + d$ (2)

Выразим разность прогрессии $d$ из каждого равенства:
Из (1) получаем: $d = a_n - a_{n-1}$
Из (2) получаем: $d = a_{n+1} - a_n$

Так как разность $d$ одна и та же, мы можем приравнять правые части этих выражений:
$a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n$

Теперь решим это уравнение относительно $a_n$. Для этого сгруппируем члены, содержащие $a_n$, в одной части уравнения, а остальные — в другой.
$a_n + a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$
$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$

Разделив обе части уравнения на 2, получим формулу, выражающую член $a_n$ через его соседей:
$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Это означает, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. Это является характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Ответ: Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, выражается как среднее арифметическое предыдущего и последующего членов по формуле: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.