Номер 1, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Приведите пример последовательности, заданной:

а) формулой $n$-го члена;

б) рекуррентной формулой.

Найдите пять первых членов этой последовательности.

а) формулой n-го члена

Последовательность, заданная формулой n-го члена (или аналитически), позволяет вычислить любой ее член, зная его порядковый номер $n$. В качестве примера рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел, увеличенных на единицу. Формула n-го члена для такой последовательности имеет вид: $a_n = n^2 + 1$.

Найдем первые пять членов этой последовательности, подставляя в формулу значения $n$ от 1 до 5:

$a_1 = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$a_2 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$a_3 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$a_4 = 4^2 + 1 = 16 + 1 = 17$

$a_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

Ответ: Пример последовательности, заданной формулой n-го члена: $a_n = n^2 + 1$. Первые пять членов этой последовательности: 2, 5, 10, 17, 26.

б) рекуррентной формулой

Рекуррентная формула задает член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Для задания такой последовательности необходимо также указать ее начальные члены. Классическим примером является последовательность Фибоначчи, в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

Она задается следующим образом: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$.

Найдем первые пять членов этой последовательности:

$a_1 = 1$ (задан по определению)

$a_2 = 1$ (задан по определению)

$a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2$

$a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3$

$a_5 = a_4 + a_3 = 3 + 2 = 5$

Ответ: Пример последовательности, заданной рекуррентной формулой: $a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n > 2$. Первые пять членов этой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5.