Номер 616, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

616. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 77). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

Рис. 77

616.

Количество шаров в каждом ряду (1 в первом, 2 во втором, 3 в третьем и т.д.) образует арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 1$, а разность $d = 1$. Общее число шаров в $n$ рядах — это сумма первых $n$ членов этой прогрессии, которая вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 1 + 1(n-1)}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120?

По условию, общее количество шаров $S_n = 120$. Нам необходимо найти число рядов $n$. Подставим известные значения в формулу суммы:
$\frac{n(n+1)}{2} = 120$
Умножим обе части на 2:
$n(n+1) = 240$
Раскроем скобки и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$n^2 + n - 240 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$n = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2}$
Получаем два корня:
$n_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Поскольку число рядов $n$ не может быть отрицательным, правильным является корень $n = 15$.
Ответ: 15 рядов.

Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

В этом случае нам известно число рядов $n=30$. Необходимо найти общее количество шаров $S_{30}$.
Используем ту же формулу суммы:
$S_{30} = \frac{30(30+1)}{2} = \frac{30 \cdot 31}{2} = 15 \cdot 31 = 465$
Ответ: 465 шаров.

617.

Нам дана арифметическая прогрессия $3, 5, 7, \dots$.
Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$.
Разность прогрессии $d = 5 - 3 = 2$.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
Подставив значения $a_1$ и $d$, получим формулу для суммы данной прогрессии:
$S_n = \frac{2 \cdot 3 + 2(n-1)}{2} \cdot n = \frac{6 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{4 + 2n}{2} \cdot n = (2+n)n$
По условию задачи, сумма не должна превосходить 120, что можно записать в виде неравенства $S_n \le 120$.
$n(n+2) \le 120$
$n^2 + 2n - 120 \le 0$
Чтобы решить это квадратичное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $n^2 + 2n - 120 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$
Найдем корни: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$n = \frac{-2 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 22}{2}$
$n_1 = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
Графиком функции $y = n^2 + 2n - 120$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции не положительны ($y \le 0$) на отрезке между корнями: $-12 \le n \le 10$.
Так как число членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), то из полученного интервала нам подходят целые числа от 1 до 10. Наибольшее из них — 10.
Ответ: 10.