Номер 614, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

614. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло её дна через 5 с после начала падения.

В данной задаче описывается последовательность расстояний, пройденных телом за каждую секунду падения. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию.

Пусть $a_n$ — это расстояние, которое тело проходит за n-ю секунду.

Согласно условию, за первую секунду тело прошло 5 м. Это первый член нашей арифметической прогрессии:

$a_1 = 5$

Каждую следующую секунду тело проходило на 10 м больше, чем в предыдущую. Это значение является разностью арифметической прогрессии:

$d = 10$

Общее время падения составляет 5 секунд. Следовательно, для нахождения общей глубины шахты нам нужно вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии. Число членов прогрессии $n$ равно 5:

$n = 5$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения ($a_1 = 5$, $d = 10$, $n = 5$) в эту формулу, чтобы найти общую глубину шахты $S_5$:

$S_5 = \frac{2 \cdot 5 + 10 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$

Выполним вычисления:

$S_5 = \frac{10 + 10 \cdot 4}{2} \cdot 5 = \frac{10 + 40}{2} \cdot 5 = \frac{50}{2} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$ м.

Таким образом, глубина шахты составляет 125 метров.

Ответ: 125 м.