Номер 608, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

608. Найдите:

а) сумму $2 + 4 + 6 + ... + 2n$, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до $2n$;

б) сумму $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$, слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до $2n - 1$.

а) Требуется найти сумму $S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$.

Данная последовательность чисел является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 4 - 2 = 2$.
Последний член прогрессии $a_k = 2n$.

Сначала найдем количество членов $k$ в этой прогрессии, используя формулу $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k - 1)d$.
Подставим известные значения:
$2n = 2 + (k - 1) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$n = 1 + k - 1$
$n = k$
Таким образом, в сумме $n$ слагаемых.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.
В нашем случае первый член $a_1=2$, последний член $a_n=2n$ и количество членов равно $n$.
$S_a = \frac{(2 + 2n)n}{2} = \frac{2(1 + n)n}{2} = n(n + 1)$.

Альтернативный способ решения:
Можно вынести общий множитель 2 за скобки:
$S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)$.
В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел, которая вычисляется по формуле $\frac{n(n+1)}{2}$.
Следовательно, $S_a = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n + 1)$.

Ответ: $n(n + 1)$.

б) Требуется найти сумму $S_b = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$.

Данная последовательность чисел также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = 3 - 1 = 2$.
Последний член прогрессии $b_k = 2n - 1$.

Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии по формуле $k$-го члена: $b_k = b_1 + (k - 1)d$.
Подставим известные значения:
$2n - 1 = 1 + (k - 1) \cdot 2$
$2n - 2 = 2(k - 1)$
Разделим обе части на 2:
$n - 1 = k - 1$
$n = k$
Таким образом, в сумме $n$ слагаемых.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов по формуле $S_n = \frac{(b_1 + b_n)n}{2}$.
В нашем случае первый член $b_1=1$, последний член $b_n=2n-1$ и количество членов равно $n$.
$S_b = \frac{(1 + (2n - 1))n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$.
Это известный математический факт: сумма первых $n$ нечетных натуральных чисел равна $n^2$.

Ответ: $n^2$.