Номер 601, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

601. Решите неравенство:

a) $(2x - 1)(x + 8) > 0;$

б) $(33 - x)(16 + 2x) \le 0.$

а)

Для решения неравенства $(2x - 1)(x + 8) > 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:$(2x - 1)(x + 8) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:$2x - 1 = 0$ или $x + 8 = 0$.
Из первого уравнения получаем $2x = 1$, откуда $x_1 = \frac{1}{2}$.
Из второго уравнения получаем $x_2 = -8$.

2. Отметим найденные корни на числовой оси. Поскольку неравенство строгое (знак $> $), точки $x = -8$ и $x = \frac{1}{2}$ будут выколотыми, то есть не войдут в решение. Эти точки разделяют числовую ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

3. Определим знак выражения $(2x - 1)(x + 8)$ в каждом из интервалов, подставив в него любое значение из этого интервала.

- Для интервала $(\frac{1}{2}; +\infty)$ возьмем $x = 1$: $(2 \cdot 1 - 1)(1 + 8) = (1)(9) = 9$. Результат положительный, значит, в этом интервале ставим знак «+».

- Для интервала $(-8; \frac{1}{2})$ возьмем $x = 0$: $(2 \cdot 0 - 1)(0 + 8) = (-1)(8) = -8$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

- Для интервала $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(2 \cdot (-10) - 1)(-10 + 8) = (-21)(-2) = 42$. Результат положительный, ставим знак «+».

4. Согласно знаку неравенства ($>0$), нам нужны интервалы, где выражение положительно, то есть те, где стоит знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $(33 - x)(16 + 2x) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем корни, приравняв левую часть к нулю: $(33 - x)(16 + 2x) = 0$.
$33 - x = 0$ или $16 + 2x = 0$.
Из первого уравнения $x_1 = 33$.
Из второго уравнения $2x = -16$, откуда $x_2 = -8$.

2. Отметим найденные корни на числовой оси. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\le$), точки $x = -8$ и $x = 33$ будут закрашенными, то есть войдут в решение. Точки разделяют числовую ось на три интервала.

3. Определим знак выражения $(33 - x)(16 + 2x)$ в каждом интервале.

- Для интервала $(33; +\infty)$ возьмем $x = 40$: $(33 - 40)(16 + 2 \cdot 40) = (-7)(96) = -672$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

- Для интервала $(-8; 33)$ возьмем $x = 0$: $(33 - 0)(16 + 2 \cdot 0) = (33)(16) = 528$. Результат положительный, ставим знак «+».

- Для интервала $(-\infty; -8)$ возьмем $x = -10$: $(33 - (-10))(16 + 2 \cdot (-10)) = (43)(16 - 20) = (43)(-4) = -172$. Результат отрицательный, ставим знак «–».

4. Согласно знаку неравенства ($\le 0$), нам нужны интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю, то есть те, где стоит знак «–», включая концы этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -8] \cup [33; +\infty)$.