Номер 598, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

598. Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией. Чему равна её разность?

Докажите, что последовательность сумм внутренних углов треугольника, выпуклого четырёхугольника, выпуклого пятиугольника и т. д. является арифметической прогрессией.

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника (многоугольника с $n$ сторонами) вычисляется по формуле:

$S_n = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

где $n \geq 3$.

Рассматриваемая в задаче последовательность — это последовательность значений $S_n$ для $n=3, 4, 5, \dots$. Первыми членами этой последовательности являются:

• Сумма углов треугольника ($n=3$): $S_3 = (3-2) \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$
• Сумма углов выпуклого четырёхугольника ($n=4$): $S_4 = (4-2) \cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}$
• Сумма углов выпуклого пятиугольника ($n=5$): $S_5 = (5-2) \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$

и так далее.

Чтобы доказать, что эта последовательность является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между любым её последующим и предыдущим членами является постоянной величиной (константой).

Возьмём два произвольных соседних члена последовательности. Один соответствует $n$-угольнику (сумма углов $S_n$), а следующий за ним — $(n+1)$-угольнику (сумма углов $S_{n+1}$).

$S_n = (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

$S_{n+1} = ((n+1) - 2) \cdot 180^{\circ} = (n - 1) \cdot 180^{\circ}$

Найдём разность $d$ между ними:

$d = S_{n+1} - S_n = (n - 1) \cdot 180^{\circ} - (n - 2) \cdot 180^{\circ}$

$d = ( (n-1) - (n-2) ) \cdot 180^{\circ} = (n - 1 - n + 2) \cdot 180^{\circ} = 1 \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$

Так как разность $d = 180^{\circ}$ является постоянной величиной и не зависит от $n$ (количества сторон многоугольника), то данная последовательность по определению является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Чему равна её разность?

Разность этой арифметической прогрессии была найдена в ходе доказательства. Она представляет собой постоянную разность между суммами углов $(n+1)$-угольника и $n$-угольника. Эта разность равна $180^{\circ}$.

Ответ: Разность арифметической прогрессии равна $180^{\circ}$.