Номер 596, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

596. Известно, что числа $a^2, b^2, c^2$ — последовательные члены арифметической прогрессии. Докажите, что числа $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

По условию, числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По определению арифметической прогрессии, это означает, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Для трех последовательных членов это равносильно тому, что средний член является средним арифметическим крайних членов: $$b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$$ Или, что то же самое: $$2b^2 = a^2 + c^2$$ Это равенство можно переписать в виде $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$ и, применив формулу разности квадратов, получить: $$(b-a)(b+a) = (c-b)(c+b) \quad (1)$$

Теперь нам нужно доказать, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Для этого достаточно показать, что разность между вторым и первым членами равна разности между третьим и вторым членами, то есть: $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}$$

Преобразуем левую и правую части этого равенства, приводя дроби в каждой части к общему знаменателю.
Левая часть: $$\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{(b+c) - (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$$ Правая часть: $$\frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} = \frac{(a+c) - (a+b)}{(a+b)(a+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$$

Таким образом, наше доказательство сводится к проверке истинности равенства: $$\frac{b-a}{(a+c)(b+c)} = \frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$$ Предполагая, что $a, b, c$ таковы, что знаменатели не равны нулю (что необходимо для существования исходных дробей), мы можем умножить обе части равенства на $(a+b)(b+c)(a+c)$: $$(b-a)(a+b) = (c-b)(b+c)$$

Используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, получаем: $$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$$

Это равенство является исходным условием того, что числа $a^2$, $b^2$, $c^2$ образуют арифметическую прогрессию. Поскольку все наши преобразования были равносильными (эквивалентными), мы доказали, что из условия задачи следует, что числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$, $\frac{1}{a+b}$ также являются последовательными членами арифметической прогрессии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.