Номер 597, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

597. Найдите ошибку в рассуждениях:

а) так как арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 1$, то первый её член равен 1, а разность равна 3;

б) так как арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = n^3 + 1$, то первый её член равен 2, а разность равна 7.

а) В данном рассуждении ошибка заключается в неверном определении первого члена прогрессии. Последовательность, заданная формулой общего члена $a_n = 3n + 1$, действительно является арифметической прогрессией. Это можно проверить, найдя разность $d$ между соседними членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (3(n+1) + 1) - (3n + 1) = 3n + 3 + 1 - 3n - 1 = 3$.

Разность постоянна и равна 3, что совпадает с утверждением в задаче. Однако первый член прогрессии $a_1$ находится подстановкой $n=1$ в формулу:

$a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

В рассуждении же утверждается, что первый член равен 1. Это неверно.

Ответ: Ошибка в том, что первый член прогрессии равен 4, а не 1.

б) Основная ошибка в этом рассуждении заключается в том, что последовательность, заданная формулой $a_n = n^3 + 1$, в принципе не является арифметической прогрессией. По определению, в арифметической прогрессии разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом должна быть постоянной.

Давайте вычислим несколько первых членов этой последовательности:

$a_1 = 1^3 + 1 = 2$

$a_2 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9$

$a_3 = 3^3 + 1 = 27 + 1 = 28$

Теперь найдем разности между соседними членами:

$d_1 = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7$

$d_2 = a_3 - a_2 = 28 - 9 = 19$

Поскольку разности между соседними членами не равны ($d_1 \neq d_2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией. Хотя первый член действительно равен 2 и разность между вторым и первым членами равна 7, нельзя утверждать, что это арифметическая прогрессия с разностью 7.

Ответ: Ошибка в том, что последовательность, заданная формулой $a_n = n^3 + 1$, не является арифметической прогрессией.