Номер 600, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

600. Решите уравнение:

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0;$

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0.$

а) $x^3 + 4x^2 - 32x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 4x - 32) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 12}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x_3 = \frac{-4 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-8; 0; 4$.

б) $x^3 - 10x^2 + 4x - 40 = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(x^3 - 10x^2) + (4x - 40) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 10) + 4(x - 10) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 10)$ за скобки:

$(x - 10)(x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - 10 = 0 \implies x = 10$

2) $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$

Второе уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $10$.