Номер 602, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

602. Найдите значение выражения:

a) $125^{-1} \cdot 25^2;$

б) $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2};$

в) $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8};$

г) $9^4 \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{-3} \cdot 81^{-4}.$

а) Для решения данного примера представим основания степеней 125 и 25 как степени числа 5. $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в исходное выражение и применим свойства степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. $125^{-1} \cdot 25^2 = (5^3)^{-1} \cdot (5^2)^2 = 5^{3 \cdot (-1)} \cdot 5^{2 \cdot 2} = 5^{-3} \cdot 5^4 = 5^{-3+4} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б) Для решения представим все множители в виде степеней числа 10. $0,0001 = 10^{-4}$ и $0,1 = 10^{-1}$. Подставим эти значения в выражение и воспользуемся свойствами степеней: $0,0001 \cdot (10^3)^2 \cdot (0,1)^{-2} = 10^{-4} \cdot 10^{3 \cdot 2} \cdot (10^{-1})^{-2} = 10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^{(-1) \cdot (-2)} = 10^{-4} \cdot 10^6 \cdot 10^2 = 10^{-4+6+2} = 10^4 = 10000$.
Ответ: 10000

в) Чтобы упростить дробь, приведем все числа к основанию 2. $16 = 2^4$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. Подставим и применим свойства степеней, включая $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{16^{-3} \cdot 4^5}{8} = \frac{(2^4)^{-3} \cdot (2^2)^5}{2^3} = \frac{2^{4 \cdot (-3)} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^3} = \frac{2^{-12} \cdot 2^{10}}{2^3} = \frac{2^{-12+10}}{2^3} = \frac{2^{-2}}{2^3} = 2^{-2-3} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$

г) В данном примере все основания степеней можно представить как степени числа 3. $9 = 3^2$, $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$, $81 = 3^4$. Подставим эти значения в выражение и упростим, используя свойства степеней: $9^4 \cdot (\frac{1}{27})^{-3} \cdot 81^{-4} = (3^2)^4 \cdot (3^{-3})^{-3} \cdot (3^4)^{-4} = 3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{(-3) \cdot (-3)} \cdot 3^{4 \cdot (-4)} = 3^8 \cdot 3^9 \cdot 3^{-16} = 3^{8+9-16} = 3^{17-16} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3