Номер 609, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

609. Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;

б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;

в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;

г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть сумму чисел от 1 до 150. Эта последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_n = 150$, а количество членов $n = 150$. Для вычисления суммы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив значения, получим: $S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$.
Ответ: 11325

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией. Первый член $a_1 = 20$, последний член $a_n = 120$. Количество членов в этой прогрессии равно $n = 120 - 20 + 1 = 101$. Применяем формулу суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$.
Ответ: 7070

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 4, 8, 12, ..., 300. Первый член прогрессии $a_1 = 4$, разность $d = 4$. Последний член, не превосходящий 300, это само число 300, так как $300 \div 4 = 75$. Таким образом, $a_n = 300$. Количество членов $n$ можно найти как $a_n = a_1 + (n-1)d$, откуда $300 = 4 + (n-1)4$, что дает $n=75$. Находим сумму по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$.
Ответ: 11400

г) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 7, 14, 21, ... . Первый член $a_1 = 7$, разность $d = 7$. Чтобы найти последний член, разделим 130 на 7: $130 = 7 \cdot 18 + 4$. Значит, наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 130, это $a_n = 7 \cdot 18 = 126$. Количество членов в этой прогрессии $n = 18$. Вычисляем сумму: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$.
Ответ: 1197