Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, $n$ членов последовательности $(x_n)$, если:

а) $x_n = 4n + 2$;

б) $x_n = 2n + 3;

в) $x_n = n - 4;

г) $x_n = 3n - 1.

а)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 4n + 2$, является арифметической прогрессией, так как формула для n-го члена является линейной функцией от $n$. Первый член этой прогрессии $x_1 = 4(1) + 2 = 6$. Разность прогрессии $d$ равна коэффициенту при $n$, то есть $d=4$.

Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_k = \frac{x_1 + x_k}{2} \cdot k$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
Сначала вычислим 50-й член последовательности: $x_{50} = 4(50) + 2 = 202$.
Теперь найдем сумму: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{6 + 202}{2} \cdot 50 = \frac{208}{2} \cdot 50 = 104 \cdot 50 = 5200$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
Сначала вычислим 100-й член последовательности: $x_{100} = 4(100) + 2 = 402$.
Теперь найдем сумму: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{6 + 402}{2} \cdot 100 = \frac{408}{2} \cdot 100 = 204 \cdot 100 = 20400$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Используем общую формулу для n-го члена $x_n = 4n + 2$.
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{6 + (4n + 2)}{2} \cdot n = \frac{4n + 8}{2} \cdot n = (2n + 4)n = 2n^2 + 4n$.

Ответ: $S_{50} = 5200$; $S_{100} = 20400$; $S_n = 2n^2 + 4n$.

б)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 2n + 3$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 2(1) + 3 = 5$. Разность прогрессии $d=2$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 2(50) + 3 = 103$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{5 + 103}{2} \cdot 50 = \frac{108}{2} \cdot 50 = 54 \cdot 50 = 2700$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 2(100) + 3 = 203$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{5 + 203}{2} \cdot 100 = \frac{208}{2} \cdot 100 = 104 \cdot 100 = 10400$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{5 + (2n + 3)}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = (n + 4)n = n^2 + 4n$.

Ответ: $S_{50} = 2700$; $S_{100} = 10400$; $S_n = n^2 + 4n$.

в)

Последовательность, заданная формулой $x_n = n - 4$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 1 - 4 = -3$. Разность прогрессии $d=1$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 50 - 4 = 46$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{-3 + 46}{2} \cdot 50 = \frac{43}{2} \cdot 50 = 43 \cdot 25 = 1075$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 100 - 4 = 96$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{-3 + 96}{2} \cdot 100 = \frac{93}{2} \cdot 100 = 93 \cdot 50 = 4650$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + (n - 4)}{2} \cdot n = \frac{n - 7}{2} \cdot n = \frac{n^2 - 7n}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 1075$; $S_{100} = 4650$; $S_n = \frac{n^2 - 7n}{2}$.

г)

Последовательность, заданная формулой $x_n = 3n - 1$, является арифметической прогрессией. Первый член $x_1 = 3(1) - 1 = 2$. Разность прогрессии $d=3$.

Найдем сумму первых 50 членов ($S_{50}$).
50-й член: $x_{50} = 3(50) - 1 = 149$.
Сумма: $S_{50} = \frac{x_1 + x_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{2 + 149}{2} \cdot 50 = \frac{151}{2} \cdot 50 = 151 \cdot 25 = 3775$.

Найдем сумму первых 100 членов ($S_{100}$).
100-й член: $x_{100} = 3(100) - 1 = 299$.
Сумма: $S_{100} = \frac{x_1 + x_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{2 + 299}{2} \cdot 100 = \frac{301}{2} \cdot 100 = 301 \cdot 50 = 15050$.

Найдем сумму первых $n$ членов ($S_n$).
Сумма: $S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n = \frac{2 + (3n - 1)}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

Ответ: $S_{50} = 3775$; $S_{100} = 15050$; $S_n = \frac{3n^2 + n}{2}$.

607. Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 3n + 2$.

Найдите сумму первых:

а) двадцати её членов;

б) пятнадцати её членов.

Дана арифметическая прогрессия, заданная формулой n-го члена $a_n = 3n + 2$. Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член прогрессии, а $n$ — количество членов.

а) двадцати её членов;
В этом случае $n=20$. Нам нужно найти сумму первых двадцати членов, $S_{20}$. Сначала найдём первый член прогрессии, подставив $n=1$ в заданную формулу:
$a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$
Теперь найдём двадцатый член прогрессии, подставив $n=20$:
$a_{20} = 3 \cdot 20 + 2 = 60 + 2 = 62$
Теперь мы можем вычислить сумму первых двадцати членов, подставив $a_1=5$, $a_{20}=62$ и $n=20$ в формулу суммы:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = \frac{5 + 62}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 67 \cdot 10 = 670$
Ответ: 670.

б) пятнадцати её членов.
В этом случае $n=15$. Нам нужно найти сумму первых пятнадцати членов, $S_{15}$. Первый член прогрессии $a_1$ мы уже нашли, он равен 5. Теперь найдём пятнадцатый член прогрессии, подставив $n=15$ в заданную формулу:
$a_{15} = 3 \cdot 15 + 2 = 45 + 2 = 47$
Теперь вычислим сумму первых пятнадцати членов, подставив $a_1=5$, $a_{15}=47$ и $n=15$ в формулу суммы:
$S_{15} = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15 = \frac{5 + 47}{2} \cdot 15 = \frac{52}{2} \cdot 15 = 26 \cdot 15 = 390$
Ответ: 390.

608. Найдите:

а) сумму $2 + 4 + 6 + ... + 2n$, слагаемыми которой являются все чётные натуральные числа от 2 до $2n$;

б) сумму $1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$, слагаемыми которой являются все нечётные натуральные числа от 1 до $2n - 1$.

а) Требуется найти сумму $S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n$.

Данная последовательность чисел является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.
Разность прогрессии $d = 4 - 2 = 2$.
Последний член прогрессии $a_k = 2n$.

Сначала найдем количество членов $k$ в этой прогрессии, используя формулу $k$-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k - 1)d$.
Подставим известные значения:
$2n = 2 + (k - 1) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$n = 1 + k - 1$
$n = k$
Таким образом, в сумме $n$ слагаемых.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.
В нашем случае первый член $a_1=2$, последний член $a_n=2n$ и количество членов равно $n$.
$S_a = \frac{(2 + 2n)n}{2} = \frac{2(1 + n)n}{2} = n(n + 1)$.

Альтернативный способ решения:
Можно вынести общий множитель 2 за скобки:
$S_a = 2 + 4 + 6 + ... + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ... + n)$.
В скобках находится сумма первых $n$ натуральных чисел, которая вычисляется по формуле $\frac{n(n+1)}{2}$.
Следовательно, $S_a = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n + 1)$.

Ответ: $n(n + 1)$.

б) Требуется найти сумму $S_b = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)$.

Данная последовательность чисел также является арифметической прогрессией.
Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = 3 - 1 = 2$.
Последний член прогрессии $b_k = 2n - 1$.

Найдем количество членов $k$ в этой прогрессии по формуле $k$-го члена: $b_k = b_1 + (k - 1)d$.
Подставим известные значения:
$2n - 1 = 1 + (k - 1) \cdot 2$
$2n - 2 = 2(k - 1)$
Разделим обе части на 2:
$n - 1 = k - 1$
$n = k$
Таким образом, в сумме $n$ слагаемых.

Теперь найдем сумму первых $n$ членов по формуле $S_n = \frac{(b_1 + b_n)n}{2}$.
В нашем случае первый член $b_1=1$, последний член $b_n=2n-1$ и количество членов равно $n$.
$S_b = \frac{(1 + (2n - 1))n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$.
Это известный математический факт: сумма первых $n$ нечетных натуральных чисел равна $n^2$.

Ответ: $n^2$.

609. Найдите сумму:

а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;

б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;

в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;

г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

а) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, то есть сумму чисел от 1 до 150. Эта последовательность является арифметической прогрессией. Первый член прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_n = 150$, а количество членов $n = 150$. Для вычисления суммы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив значения, получим: $S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11325$.
Ответ: 11325

б) Требуется найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно. Эта последовательность также является арифметической прогрессией. Первый член $a_1 = 20$, последний член $a_n = 120$. Количество членов в этой прогрессии равно $n = 120 - 20 + 1 = 101$. Применяем формулу суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070$.
Ответ: 7070

в) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 4, 8, 12, ..., 300. Первый член прогрессии $a_1 = 4$, разность $d = 4$. Последний член, не превосходящий 300, это само число 300, так как $300 \div 4 = 75$. Таким образом, $a_n = 300$. Количество членов $n$ можно найти как $a_n = a_1 + (n-1)d$, откуда $300 = 4 + (n-1)4$, что дает $n=75$. Находим сумму по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11400$.
Ответ: 11400

г) Требуется найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130. Эти числа образуют арифметическую прогрессию: 7, 14, 21, ... . Первый член $a_1 = 7$, разность $d = 7$. Чтобы найти последний член, разделим 130 на 7: $130 = 7 \cdot 18 + 4$. Значит, наибольшее число, кратное 7 и не превосходящее 130, это $a_n = 7 \cdot 18 = 126$. Количество членов в этой прогрессии $n = 18$. Вычисляем сумму: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставляем значения: $S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197$.
Ответ: 1197

610. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен $10$ и разность равна $3$.

Дана арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 10$ и разностью $d = 3$. Необходимо найти сумму её членов с пятнадцатого по тридцатый включительно.

Искомая сумма $S$ представляет собой сумму членов $a_{15}, a_{16}, \dots, a_{30}$. Эти члены сами по себе образуют конечную арифметическую прогрессию. Для нахождения их суммы воспользуемся формулой $S = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot n$, где $n$ — количество членов.

Сначала определим значения первого ($a_{15}$) и последнего ($a_{30}$) членов этого диапазона, используя общую формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Пятнадцатый член прогрессии:
$a_{15} = a_1 + (15 - 1)d = 10 + 14 \cdot 3 = 10 + 42 = 52$.

Тридцатый член прогрессии:
$a_{30} = a_1 + (30 - 1)d = 10 + 29 \cdot 3 = 10 + 87 = 97$.

Далее определим количество членов в сумме. От 15-го до 30-го включительно находится $n = 30 - 15 + 1 = 16$ членов.

Теперь можем вычислить искомую сумму, подставив найденные значения в формулу:
$S = \frac{a_{15} + a_{30}}{2} \cdot n = \frac{52 + 97}{2} \cdot 16$.

Производим вычисления:
$S = \frac{149}{2} \cdot 16 = 149 \cdot 8 = 1192$.

Ответ: 1192.

611. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый член равен 21 и разность равна -0,5.

Для решения данной задачи необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно. Из условия нам известны первый член прогрессии $a_1 = 21$ и её разность $d = -0,5$.

Искомую сумму можно найти, если рассматривать последовательность членов с шестого ($a_6$) по двадцать пятый ($a_{25}$) как новую, самостоятельную арифметическую прогрессию.

Первым шагом определим количество членов в этом диапазоне. Оно равно $n = 25 - 6 + 1 = 20$.

Далее, нам понадобятся значения шестого и двадцать пятого членов исходной прогрессии. Для их нахождения воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

Вычислим шестой член ($a_6$):
$a_6 = a_1 + d(6-1) = 21 + (-0,5) \cdot 5 = 21 - 2,5 = 18,5$.

Вычислим двадцать пятый член ($a_{25}$):
$a_{25} = a_1 + d(25-1) = 21 + (-0,5) \cdot 24 = 21 - 12 = 9$.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления суммы: первый член нашего диапазона ($a_6 = 18,5$), последний член ($a_{25} = 9$) и количество членов ($n = 20$). Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_{первый} + a_{последний}}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения в формулу:
$S = \frac{a_6 + a_{25}}{2} \cdot n = \frac{18,5 + 9}{2} \cdot 20 = \frac{27,5}{2} \cdot 20 = 27,5 \cdot 10 = 275$.

Ответ: 275

612. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии ($c_n$), если $c_7 = 18,5$ и $c_{17} = -26,5$.

Для решения задачи нам понадобятся формула n-го члена арифметической прогрессии и формула суммы первых n членов.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(c_n)$ имеет вид:

$c_n = c_1 + d(n-1)$

где $c_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам известны седьмой и семнадцатый члены прогрессии:

$c_7 = 18,5$

$c_{17} = -26,5$

Используя формулу n-го члена, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($c_1$ и $d$):

$\begin{cases} c_7 = c_1 + d(7-1) \\ c_{17} = c_1 + d(17-1) \end{cases} \implies \begin{cases} 18,5 = c_1 + 6d \\ -26,5 = c_1 + 16d \end{cases}$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:

$(c_1 + 16d) - (c_1 + 6d) = -26,5 - 18,5$

$10d = -45$

$d = \frac{-45}{10} = -4,5$

Теперь найдём первый член прогрессии $c_1$, подставив найденное значение $d$ в первое уравнение системы:

$18,5 = c_1 + 6 \cdot (-4,5)$

$18,5 = c_1 - 27$

$c_1 = 18,5 + 27$

$c_1 = 45,5$

Теперь, когда мы знаем первый член $c_1$ и разность $d$, мы можем найти сумму первых двадцати членов прогрессии ($S_{20}$).

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2c_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения: $n=20$, $c_1=45,5$ и $d=-4,5$:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 45,5 + (-4,5)(20-1)}{2} \cdot 20$

Упростим выражение:

$S_{20} = (2 \cdot 45,5 - 4,5 \cdot 19) \cdot \frac{20}{2}$

$S_{20} = (91 - 85,5) \cdot 10$

$S_{20} = 5,5 \cdot 10$

$S_{20} = 55$

Ответ: 55

613. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 4,2$ и $b_{10} = 15,9$.

Для нахождения суммы первых пятнадцати членов арифметической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны:

$b_1 = 4,2$

$b_{10} = 15,9$

Нам нужно найти $S_{15}$. Для этого сначала необходимо найти разность прогрессии $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $b_n = b_1 + (n-1)d$.

Используем эту формулу для $b_{10}$:

$b_{10} = b_1 + (10-1)d$

Подставим известные значения:

$15,9 = 4,2 + 9d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$9d = 15,9 - 4,2$

$9d = 11,7$

$d = \frac{11,7}{9} = 1,3$

Теперь, когда мы знаем $b_1 = 4,2$ и $d = 1,3$, мы можем вычислить сумму первых пятнадцати членов ($n=15$):

$S_{15} = \frac{2b_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{2 \cdot 4,2 + 14 \cdot 1,3}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{8,4 + 18,2}{2} \cdot 15$

$S_{15} = \frac{26,6}{2} \cdot 15$

$S_{15} = 13,3 \cdot 15$

$S_{15} = 199,5$

Ответ: 199,5

614. При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло её дна через 5 с после начала падения.

В данной задаче описывается последовательность расстояний, пройденных телом за каждую секунду падения. Эта последовательность представляет собой арифметическую прогрессию.

Пусть $a_n$ — это расстояние, которое тело проходит за n-ю секунду.

Согласно условию, за первую секунду тело прошло 5 м. Это первый член нашей арифметической прогрессии:

$a_1 = 5$

Каждую следующую секунду тело проходило на 10 м больше, чем в предыдущую. Это значение является разностью арифметической прогрессии:

$d = 10$

Общее время падения составляет 5 секунд. Следовательно, для нахождения общей глубины шахты нам нужно вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии. Число членов прогрессии $n$ равно 5:

$n = 5$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения ($a_1 = 5$, $d = 10$, $n = 5$) в эту формулу, чтобы найти общую глубину шахты $S_5$:

$S_5 = \frac{2 \cdot 5 + 10 \cdot (5-1)}{2} \cdot 5$

Выполним вычисления:

$S_5 = \frac{10 + 10 \cdot 4}{2} \cdot 5 = \frac{10 + 40}{2} \cdot 5 = \frac{50}{2} \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$ м.

Таким образом, глубина шахты составляет 125 метров.

Ответ: 125 м.

615. (Для работы в парах.) Какое расстояние пройдёт свободно падающее тело:

а) за пятую секунду после начала падения;

б) за пять секунд после начала падения?

1) Обсудите, какое известное вам из курса физики свойство надо использовать для решения задачи.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание, и исправьте ошибки, если они допущены.

Для решения этой задачи необходимо использовать законы равноускоренного движения. Свободное падение тела — это движение с постоянным ускорением, которое называется ускорением свободного падения и обозначается буквой $g$. Мы будем считать, что начальная скорость тела равна нулю ($v_0 = 0$), так как оно "свободно падающее". Примем стандартное значение ускорения свободного падения у поверхности Земли $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Расстояние (или высота $h$), пройденное телом при свободном падении за время $t$, определяется по формуле:

$h(t) = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Так как $v_0 = 0$, формула упрощается до:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

а) за пятую секунду после начала падения;

Чтобы найти расстояние, которое тело пройдёт именно за пятую секунду, нужно найти разность между расстоянием, пройденным за полные пять секунд, и расстоянием, пройденным за четыре секунды.

$\Delta h_5 = h(5 \text{ с}) - h(4 \text{ с})$

1. Вычислим расстояние, пройденное за 5 секунд:

$h(5 \text{ с}) = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ с}^2}{2} = \frac{245 \text{ м}}{2} = 122.5 \text{ м}$

2. Вычислим расстояние, пройденное за 4 секунды:

$h(4 \text{ с}) = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 16 \text{ с}^2}{2} = \frac{156.8 \text{ м}}{2} = 78.4 \text{ м}$

3. Найдем искомое расстояние как разность этих двух значений:

$\Delta h_5 = 122.5 \text{ м} - 78.4 \text{ м} = 44.1 \text{ м}$

Ответ: за пятую секунду тело пройдёт 44,1 м.

б) за пять секунд после начала падения?

Чтобы найти расстояние, которое тело пройдёт за пять секунд от начала падения, нужно использовать основную формулу, подставив в нее время $t = 5$ с.

$h(5 \text{ с}) = \frac{gt^2}{2}$

Подставляем числовые значения:

$h(5 \text{ с}) = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (5 \text{ с})^2}{2} = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ с}^2}{2} = \frac{245 \text{ м}}{2} = 122.5 \text{ м}$

Ответ: за пять секунд тело пройдёт 122,5 м.